Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\), biết \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(BC = 2a,\widehat {BAC} = {120^0}\), góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{2}\)
B.
\(\dfrac{{{a^3}}}{9}\)
C.
\({a^3}\sqrt 2 \)
D.
\(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)
Lời giải của giáo viên
Đáp án đúng: b
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot SE\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\SE \bot BC\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = BC\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle SEA = {45^0}.\)
\( \Rightarrow \Delta SAE\) vuông cân tại \(A \Rightarrow SA = AE\).
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat A = {120^0},BC = 2a\),
\(AE\) là tia phân giác của \(\widehat A\) \( \Rightarrow \widehat {BAE} = {60^0}\).
Tam giác vuông \(AEB\) có \(\widehat {BAE} = {60^0},BE = \dfrac{1}{2}BC = a \Rightarrow AE = \dfrac{{BE}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{{BE}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = SA\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.SA.\dfrac{1}{2}AE.BC = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.2a = \dfrac{{{a^3}}}{9}\).
Hướng dẫn giải:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng: là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot SE\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\SE \bot BC\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = BC\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle SEA = {45^0}.\)
\( \Rightarrow \Delta SAE\) vuông cân tại \(A \Rightarrow SA = AE\).
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat A = {120^0},BC = 2a\),
\(AE\) là tia phân giác của \(\widehat A\) \( \Rightarrow \widehat {BAE} = {60^0}\).
Tam giác vuông \(AEB\) có \(\widehat {BAE} = {60^0},BE = \dfrac{1}{2}BC = a \Rightarrow AE = \dfrac{{BE}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{{BE}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = SA\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.SA.\dfrac{1}{2}AE.BC = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.2a = \dfrac{{{a^3}}}{9}\).
Hướng dẫn giải:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng: là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(A{A_1}\). Thể tích khối chóp \(M.BC{A_1}\) là:
Tìm giá trị $m$ để phương trình \({2^{\left| {x - 1} \right| + 1}} + {2^{\left| {x - 1} \right|}} + m = 0\) có nghiệm duy nhất
Cho \(x > 0\) và \(n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 2\). Chọn công thức đúng:
Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm của phương trình \({4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0\).
Cho hàm số $y = {x^4} - 2(m + 1){x^2} + m + 2$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm thuộc $\left( C \right)$ có hoành độ bằng $1$. Với giá trị nào của tham số $m$ thì $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $d:y = - \dfrac{1}{4}x - 2016$
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng \(2a\) và bán kính đáy bằng \(a\). Thể tích của khối nón đã cho bằng
Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng:
“Số cạnh của một hình đa diện luôn……………….số mặt của hình đa diện ấy”
Cho hình nón có bán kính đáy bằng $4a$ và chiều cao bằng $3a.$ Diện tích toàn phần của hình nón bằng:
Biết rằng hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt x \ln x\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {1;e} \right]\) tại \(x = {x_0}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ lần lượt là
Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hàm số $y = {x^4} + 2\left( {{m^2} - 9} \right){x^2} + 5m + 2$ có cực đại, cực tiểu
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2} + 2\) trên \(R\), chọn kết luận đúng:
Số cực trị của hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) là:
Hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích bằng \(V\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là tâm các hình bình hành \(ABCD,\,\,A'B'C'D',\,\,ABB'A',\,\,BCC'B',\,\,CDD'C',\,\,DAA'D'\). Thể tích khối đa diện có các đỉnh \(M,\,\,P,\,\,Q,\,\,E,\,\,F,\,\,N\) bằng: