Đề thi chọn đội tuyển dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Phú Thọ

Đề thi chọn đội tuyển dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Phú Thọ gồm 2 đề thi dành cho 2 ngày thi: ngày 14/09/2018 và ngày 15/09/2018, ngày thi thứ nhất gồm 4 bài toán, ngày thi thứ 2 gồm 3 bài toán, mỗi đề học sinh giải trong thời gian 180 phút, đề thi có lời giải chi tiết và thang chấm điểm.

Trích dẫn đề thi chọn đội tuyển dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Phú Thọ:
+ Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại P. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác APB, CPD cắt cạnh BC theo thứ tự tại E, F. Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABE, CDF, hai đoạn thẳng BJ và CI cắt nhau tại Q. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB cắt đoạn thẳng BD tại M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DJC cắt đoạn thẳng AC tại N. Chứng minh BIJC là tứ giác nội tiếp. Chứng minh ba đường thẳng IM, JN, PQ đồng quy.
[ads]
+ Chứng minh rằng: Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp là hợp số. Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp chứa đúng 2 số nguyên tố.
+ Một bảng ô vuông ABCD kích thước 2018 x 2018 gồm 2018^2 ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị được điền bởi một trong ba số -1, 0,1. Một cách điền số được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo AC được điền số -1 và mỗi cặp ô đối xứng qua AC được điền cùng một số 0 hoặc 1. Chứng minh rằng với một cách điền số đối xứng bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là a1, a2, …, a2018 ở hàng thứ nhất, b1, b2, …, b2018 ở hàng thứ hai sao cho S = a1b1 + a2b2 + … + a2018b2018 là một số chẵn.