Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Ngày 22 – 23 tháng 09 năm 2020, sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2020 – 2021.

Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Tĩnh gồm 02 bài thi với tổng cộng 07 bài toán, thời gian làm bài mỗi bài thi là 180 phút.

Trích dẫn đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Tĩnh:
+ Cho phương trình x^n = x + 1. Chứng minh rằng với mỗi n thuộc N và n >= 2, phương trình có nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là xn.
a. Tính giới hạn của dãy số (un) với un = n(xn – 1).
b. Tìm số thực k sao cho dãy số vn = n^k(xn+1 – xn) có giới hạn hữu hạn khác 0.
+ Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC < BC và nội tiếp đường tròn (O;R). Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn vuông góc với đoạn thẳng OA và cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Gọi K là giao điểm của đường thẳng BN và CM, P là giao điểm của đường thẳng AK và BC, I là trung điểm của BC.
a. Chứng minh tứ giác MNIP nội tiếp được trong một đường tròn.
b. Gọi H là trực tâm tam giác AMN. Chứng minh rằng đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng d thay đổi.
+ Cho bảng vuông n x n ô vuông (n > 2) với các ô vuông được tô bằng hai màu đen hoặc trắng (mỗi ô chỉ tô bởi một màu). Biết rằng mỗi bước, ta chỉ thay đổi màu của toàn bộ các ô trong một hàng hoặc một cột (ô trắng thành đen và ô đen thành trắng).
a. Giả sử trong bảng có đúng một ô được tô đen. Hỏi sau một số bước đổi màu các hàng hoặc cột nào đó thì bảng toàn ô trắng được hay không?
b. Có tất cả bao nhiêu cấu hình ban đầu sao cho sau hữu hạn bước đổi màu hàng hoặc cột thì bảng gồm toàn ô trắng? (Ví dụ: Cấu hình H1 là một cấu hình thỏa mãn với n = 3).