Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Gia Lai

Thứ Tư ngày 22 tháng 12 năm 2021, sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Gia Lai tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh môn Toán năm học 2021 – 2022.

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Gia Lai gồm 01 trang với 05 bài toán dạng tự luận, thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề).

Trích dẫn đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Gia Lai:
+ Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 3 và n.u_n+1 = 2(n + 1)un – n – 2 với mọi n >= 1. a) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên. b) Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lẻ bất kỳ, luôn tồn tại hai số hạng liên tiếp của dãy là bội của p.
+ Cho tam giác ABC nhọn, có AB < BC, nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao AE và CF cắt nhau tại H (với E thuộc BC, F thuộc AB). Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và C cắt nhau tại Z. Gọi X là giao điểm của ZA và EF, Y là giao điểm của ZC và EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF cắt đường tròn (O) tại điểm D (D khác B). a) Chứng minh rằng ba điểm M, H và D thẳng hàng. b) Chứng minh rằng bốn điểm D, X, Z và Y cùng nằm trên một đường tròn.
+ Trong một tòa nhà có một số phòng nào đó, trong mỗi phòng có một bóng đèn và một công tắc, công tắc ở mỗi phòng được nối với một số phòng nào đó. Khi ta bấm công tắc tại một phòng thì sẽ làm thay đổi trạng thái của bóng đèn trong phòng đó và các phòng được nối với công tắc này (bóng đang sáng sẽ tắt còn bóng đang tắt sẽ sáng). Chứng minh rằng, nếu ban đầu tất cả các bóng đèn đều tắt thì sau một số hữu hạn lần bấm công tắt sẽ làm cho tất cả các bóng đèn đều sáng.