Cho hai hàm số \(y=\frac{x-1}{x}+\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3}\) và \(y=\left| x+2 \right|-x-m\) (m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C}_{1}} \right)\) và \(\left( {{C}_{2}} \right)\). Tập hợp tất cả các giá trị của m để \(\left( {{C}_{1}} \right)\) và \(\left( {{C}_{2}} \right)\) cắt nhau tại đúng 4 điểm phân biệt là

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 6 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên \(ABB'A',\,ACC'A',\,\,BCC'B'\). Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm \(A,B,C,M,N,P\) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\), bảng biến thiên của hàm số \({f}'\left( x \right)\) như sau:

Số điểm cực trị của hàm số \(y=f\left( 4{{x}^{2}}-4x \right)\) là

Trong không gian \(\text{Ox}yz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=5\). Có tất cả bao nhiêu điểm \(A\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) ( \(a\,,\,b\,,\,c\) là các số nguyên) thuộc mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

Cho phương trình \(\left( 2\log _{3}^{2}x-{{\log }_{3}}x-1 \right)\sqrt{{{5}^{x}}-m}=0\) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt?

Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình \(\left| f\left( {{x}^{3}}-3x \right) \right|=\frac{3}{2}\) là

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( 6 \right)=1\) và \(\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 6x \right)\operatorname{d}x}=1\), khi đó \(\int\limits_{0}^{6}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\operatorname{d}x}\) bằng

Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|=\sqrt{2}\). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w thỏa mãn \(w=\frac{2+iz}{1+z}\) là một đường tròn có bán kính bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( 0;3;-2 \right)\). Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?

Cho đường thẳng y=3x và parabol \(y=2{{x}^{2}}+a\) ( a là tham số thực dương). Gọi \({{S}_{1}}\) và \({{S}_{2}}\) lần lượt là diện tích của 2 hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi \({{S}_{1}}={{S}_{2}}\) thì a thuộc khoảng nào dưới đây?

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng

Cho hình chóp S.ABCD  có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)$, hàm số \(y={f}'\left( x \right)$ liên tục trên \(\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên.

Bất phương trình $f\left( x \right)<2x+m$ ($m$ là tham số thực) nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0\,;\,2 \right)$ khi và chỉ khi

Cho hình trụ có chiều cao bằng \(3\sqrt{2}\). Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng \(12\sqrt{2}\). Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

Cho phương trình \({{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm

Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right)=4\) và \({f}'\left( x \right)=2{{\sin }^{2}}x+1,\forall x\in \mathbb{R}\), khi đó \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{2x+1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\) trên khoảng \(\left( -2;+\infty  \right)\) là:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\), bảng xét dấu của \({f}'\left( x \right)\) như sau:

Hàm số \(y=f\left( 3-2x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho số phức z thỏa \((2+i)z-4(\overline{z}-i)=-8+19i\). Môđun của z bằng

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(0;0;2), B(2;1;0), C(1;2-1) và D(2;0;-2). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là

Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-4z+5=0\). Gái trị của \(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),y=0,x=-1,x=2\) (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 2;1;2 \right)\) và \(B\left( 6;5;-4 \right)\). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2y-2z-7=0\). Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác đều cạnh 2a và A{A}'=3a (minh họa như hình vẽ bên).

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Nghiệm của phương trình \(\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( x+1 \right)+1=\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( 3x-1 \right)\) là

Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1,8m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right). SA=\sqrt{2}a\), tam giác ABC vuông cân tại B và AB=a. Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng

Cho a; b là hai số thực dương thỏa mãn \({{a}^{2}}{{b}^{3}}=16\). Giá trị của \(2{{\log }_{2}}a+3{{\log }_{2}}b\) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=x{{\left( x-1 \right)}^{2}}, \forall x\in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x\) trên đoạn \(\left[ -3\,;\,3 \right]\) bằng

Hàm số \(y={{2}^{{{x}^{2}}-x}}\) có đạo hàm là

Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1+i\) và \({{z}_{2}}=2+i\). Trên mặt phẳng Oxy, điểm biểu diễn số phức \({{z}_{1}}+2{{z}_{2}}\) có tọa độ là

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình $2f\left( x \right)-3=0$ là

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Với a là số thực dương tùy ý, \({{\log }_{2}}{{a}^{3}}\) bằng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-3}{2}\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=2x+3\) là

Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với x\({{u}_{1}}=2\) và \({{u}_{2}}=6\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( 2;1;-1 \right)\) trên trục Oy có tọa độ là

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là

Số phức liên hợp của số phức 1-2i là

Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là

Nghiệm của phương trình \({{2}^{2x-1}}=8\) là

Biết \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=2\) và \(\int\limits_{1}^{2}{g\left( x \right)\,\text{d}x}=6\), khi đó \(\int\limits_{1}^{2}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\,\text{d}x}\) bằng

Số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x\,-\,3y\,+\,z\,\,-2\,=\,0\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?