Câu hỏi Đáp án 2 năm trước 40

Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-4m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( \sqrt[3]{f\left( x \right)+m} \right)={{x}^{3}}-m\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 1;2 \right]?\)

A. 16

Đáp án chính xác ✅

B. 18

C. 15

D. 17

Lời giải của giáo viên

verified HocOn247.com

Đặt \(u=\sqrt[3]{f\left( x \right)+m}\Leftrightarrow {{u}^{3}}=f\left( x \right)+m\Leftrightarrow {{u}^{3}}-m=f\left( x \right).\)

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( u \right) = {x^3} - m\\ f\left( x \right) = {u^3} - m \end{array} \right. \Rightarrow f\left( u \right) = {x^3} - {u^3} \Leftrightarrow f\left( u \right) + {u^3} = f\left( x \right) + {x^3}\left( * \right)\)

Xét \(g\left( t \right)=f\left( t \right)+{{t}^{3}},g'\left( t \right)=f'\left( t \right)+3{{t}^{2}}=5{{t}^{4}}+12{{t}^{2}}\ge 0,\forall t\in \mathbb{R},\) suy ra hàm số \(g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

\(\left( * \right)\Leftrightarrow g\left( u \right)=g\left( x \right)\Leftrightarrow u=x.\)

Suy ra: \(x=\sqrt[3]{g\left( x \right)+m}\Leftrightarrow {{x}^{3}}=f\left( x \right)+m\Leftrightarrow {{x}^{3}}={{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-4m+m\)

\(\Leftrightarrow 3m={{x}^{5}}+2{{x}^{3}}.\)

Xét hàm số \(h\left( x \right)={{x}^{5}}+2{{x}^{3}}.\) Để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 1;2 \right]\) thì \(\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,h\left( x \right)\le 3m\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,h\left( x \right).\)

Ta có: \(h'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}>0,\forall x\in \left[ 1;2 \right],\) suy ra \(h\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ 1;2 \right].\)

Suy ra: \(\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,h\left( x \right)=h\left( 1 \right)=3,\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,h=h\left( 2 \right)={{2}^{5}}+{{2.2}^{3}}=32+16=48.\)

Vậy: \(3\le 3m\le 48\Leftrightarrow 1\le m\le 16.\)

CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1: Trắc nghiệm

Tập nghiệm của bất phương trình \({{6.9}^{x}}-{{12.6}^{x}}+{{6.4}^{x}}\le 0\) có dạng \(S=\left[ a;b \right].\) Giá trị của biểu thức \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) bằng 

Xem lời giải » 2 năm trước 46
Câu 2: Trắc nghiệm

Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{4-3x}{4x+5}\) là 

Xem lời giải » 2 năm trước 45
Câu 3: Trắc nghiệm

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA=a\sqrt{2}.\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng

Xem lời giải » 2 năm trước 44
Câu 4: Trắc nghiệm

Cho khối nón có bán kính đường tròn đáy bằng \(R=3a,\) đường sinh \(l=5a,\) thể tích của khối nón bằng bao nhiêu?

Xem lời giải » 2 năm trước 44
Câu 5: Trắc nghiệm

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau. Biết \(AB=3a;AC=2a\) và \(AD=a. \) Tính thể tích của khối tứ diện đã cho? 

Xem lời giải » 2 năm trước 44
Câu 6: Trắc nghiệm

Cho hàm số \(f\left( x \right),\) bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:

  Hàm số \(y=f\left( 1-2x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem lời giải » 2 năm trước 42
Câu 7: Trắc nghiệm

Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB=a\sqrt{3},AC=a. \) Điểm \(A'\) cách đều ba điểm \(A,B,C. \) Góc giữa đường thẳng \(AB'\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng

Xem lời giải » 2 năm trước 42
Câu 8: Trắc nghiệm

Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x+5\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\). Khi đó tổng \(M+m\) bằng

Xem lời giải » 2 năm trước 41
Câu 9: Trắc nghiệm

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A,\) cạnh \(SA\) vuông góc với mặt đáy \(ABC. \) Biết \(SA=2a,BC=2a\sqrt{2}.\) Bán kính \(R\) của mặt dầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng

Xem lời giải » 2 năm trước 40
Câu 10: Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y=\frac{x+m}{x-3}(m\) là tham số) thỏa mãn \(\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-2.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

Xem lời giải » 2 năm trước 40
Câu 11: Trắc nghiệm

Đường thẳng \(y=x+1\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{x-1}{x-2}\) tại hai điểm phân biệt \(A,B. \) Khi đó độ dài \(AB\) bằng 

Xem lời giải » 2 năm trước 39
Câu 12: Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y=-{{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3\left( 2m-1 \right)x+2020.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số nghịch biến trên \(\left( -\infty ;+\infty  \right)?\)

Xem lời giải » 2 năm trước 39
Câu 13: Trắc nghiệm

Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)\) là hai nghiệm của phương trình \({{3}^{2x-1}}-{{4.3}^{x}}+9=0.\) Giá trị của biểu thức \(P={{x}_{2}}-2{{x}_{1}}\) bằng 

Xem lời giải » 2 năm trước 38
Câu 14: Trắc nghiệm

Cho hình trụ với hai đáy là đường tròn đường kính \(2a,\) thiết diện qua trục là hình chữ nhật có diện tích bằng \(6{{a}^{2}}.\) Diện tích toàn phần của hình trụ bằng 

Xem lời giải » 2 năm trước 38
Câu 15: Trắc nghiệm

Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh?

Xem lời giải » 2 năm trước 38

📝 Đề thi liên quan

Xem thêm »
Xem thêm »

❓ Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »