Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số f(x) có \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\) và \(f'\left( x \right) = x\sin x\). Giả sử rằng \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{a}{b} - \frac{{{\pi ^2}}}{c}\) (với a, b, c là các số nguyên dương, \(\frac ab\) tối giản). Khi đó a +b + c bằng
A. 23
B. 5
C. 20
D. 27
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
Do \(f'\left( x \right) = x\sin x\) nên \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {x\sin x{\rm{d}}x = - \int {x{\rm{d}}\cos x} = } - x\cos x + \int {\cos x{\rm{d}}x} = - x\cos x + \sin x + C\).
Theo giả thiết \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2 \Leftrightarrow 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1\). Suy ra \(f\left( x \right) = \sin x - x\cos x + 1\).
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x\left( {\sin x - x\cos x + 1} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x\cos x - x{{\cos }^2}x + \cos x} \right){\rm{d}}x} \)
\( = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x{\rm{d}}x} - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\left( {1 + \cos 2x} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x{\rm{d}}x} = - \frac{1}{4}\cos 2x\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{array} \right. + \sin x\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{array} \right. - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x{\rm{d}}x} - \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x{\rm{d}}\sin 2x} \)
\( = \frac{1}{2} + 1 - \frac{{{x^2}}}{4}\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{array} \right. - \frac{1}{4}x\sin 2x\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{array} \right. + \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x{\rm{d}}x} = \frac{3}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{{16}} - \frac{1}{8}\cos 2x\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{array} \right. = \frac{7}{4} - \frac{{{\pi ^2}}}{{16}}\)
Vậy a = 7,b = 4,c = 16. Suy ra a + b + c = 27.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có \(AB = a;\,AC = a\sqrt 2 \) và \(\widehat {CAB} = 135^\circ \), tam giác SAB vuông tại B và tam giác SAC vuông tại A. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng 30o. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Trong không gian Oxyz, cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;1;2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1; - 1;0} \right)\). Tích vô hướng \(\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right).\overrightarrow b \) bằng
Họ nguyên hàm của hàm số \(y = {e^x}\left( {1 - \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\) là
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 3 - t\\ z = 3t \end{array} \right.\)?
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - 6{x^2}\) là
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm M(1;2;3) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 3 = 0\) có phương trình là
Cho hàm số y = f(x) và f(x) > 0, với mọi x thuộc R. Biết hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên như hình vẽ và \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{137}}{{16}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 2020\,;\,\,2020} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = {e^{ - {x^2} + 4mx - 5}}.f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).
Tìm tập xác định của hàm số \(y = {e^{\log \left( { - {x^2} + 3x} \right)}}\)
Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Khẳng định nào sau đây đúng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 3a,AD = DC = a. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60o. Gọi M điểm trên AB sao cho AM = 2a, tính khoảng cách giữa MD và SC.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Tổng tất cả giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(f\left( {\sqrt {2f\left( {\cos x} \right)} } \right) = m\) có nghiệm \(x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right).\)
.png)
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha)\): 2x + 3z - 1 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \((\alpha)\)?
Cho hình hộp có đáy là hình vuông cạnh bằng a và chiều cao 3a. Thể tích của hình hộp đã cho bằng
Gọi k và l lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {2 - x} }}{{\left( {x - 1} \right)\sqrt x }}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
