Cho hàm số \(f(x)=3 x^4+a x^3+b x^2+c x+d(a, b, c, d \in \mathbb{R})\) có ba điểm cực trị là \(-2,-1\) và 1. Gọi \(y=g(x)\) là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=f(x)\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\) bằng
A. \(\dfrac{500}{81}\)
B. \(\dfrac{36}{5}\)
C. \(\dfrac{2932}{405}\)
D. \(\dfrac{2948}{405}\)
Lời giải của giáo viên
Ta có: \(f'(x)=12 x^3+3 a x^2+2 b x+c\). Theo bài ra, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \le 0}\\
{ - 10 < m < 6}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \le 0}\\
{ - 10 < m < 6}
\end{array}} \right.. \Rightarrow f(x) = 3{x^4} + 8{x^3} - 6{x^2} - 24x + d\)
Giả sử \(y=g(x)=a x^2+b x+c\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{g( - 2) = 8 + d}\\
{g( - 1) = 13 + d}\\
{g(1) = - 19 + d}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4a - 2b + c = 8 + d}\\
{a - b + c = - 19 + d}\\
{a + b + c = - 19 + d}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = - 7}\\
{b = - 16}\\
{c + 4 + d}
\end{array}} \right.\\
\Rightarrow y = - 7{x^2} - 16x + 4 + d
\end{array}\)
Xét \(f(x)-g(x)=0 \Leftrightarrow 3x^4+8 x^3+x^2-8 x-4=0\Leftrightarrow x=1;x=-\dfrac{2}{3};x=-1;x=-2 \).
Diện tích hình phẳng cần tìm là \(S=\int_{-2}^1|f(x)-g(x)| d x=\displaystyle\int_{-2}^1\left|3 x^4+8 x^3+x^2-8 x-4\right| d x\) \(=\displaystyle\int_{-2}^{-1}\left|3 x^4+8 x^3+x^2-8 x-4\right| {\rm d} x+\displaystyle\int_{-1}^{-\frac{2}{3}}\left|3 x^4+8 x^3+x^2-8 x-4\right| {\rm d} x+\displaystyle\int_{-\frac{2}{3}}^1\left|3 x^4+8 x^3+x^2-8 x-4\right| {\rm d} x=\dfrac{2948}{405}\)
Kết luận: \(S=\dfrac{2948}{405}\).
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) sao cho số phức \(w=\dfrac{1}{|z|-z}\) có phần thực bằng \(\dfrac{1}{8}\). Xét các số phức \(z_1, z_2 \in S\) thỏa mãn \(\left|z_1-z_2\right|=2\), giá trị lớn nhất của \(P=\left|z_1-5 i\right|^2-\left|z_2-5 i\right|^2\) bằng
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm là \(f'(x)=x^2+10 x, \forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=f\left(x^4-8 x^2+m\right)\) có đúng 9 điểm cực trị?
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Thể tích V của khối cầu bán kính r được tính theo công thức nào dưới đây?
Cho khối chóp đều S.ABCD có AC=4a, hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với nhau. Thể tích khối chóp đã cho bằng
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm là \(f'(x)=12 x^2+2, \forall x \in \mathbb{R}\) và f(1)=3. Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(0)=2, khi đó F(1) bằng
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;-2; 3), B(1; 3; 4), C(3;-1; 5). Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):(x-4)^2+(y+3)^2+(z+6)^2=50\) và đường thẳng \(d: \dfrac{x}{2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-3}{-1}\). Có bao nhiêu điểm M thuộc trục hoành, với hoành độ là số nguyên, mà từ M kẻ được đến (S) hai tiếp tuyến cùng vuông góc với d?
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h. Thể tích V của khối lăng trụ đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
Với n là số nguyên dương, công thức nào dưới đây đúng?
Nếu \(\displaystyle\int_2^5 f(x) \mathrm{d} x=2\) thì \(\displaystyle\int_2^5 3 f(x) \mathrm{d} x\) bằng
Cho số phức z thỏa mãn \(i\overline{z}=5+2i\). Phần ảo của z bằng
Cho hàm số \(y=\mathrm{ax}^4+b x^2+c(a, b, c \in \mathbb{R})\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng.