Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(4{\cos ^3}x - \cos 2x + \left( {m - 3} \right)\cos x - 1 = 0\) có đúng bốn nghiệm khác nhau thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)?

Tính thể tích của khối nón có chiều cao bằng 4 và độ dài đường sinh bằng 5.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxy, cho điểm \(M\left( {1;\, - 3;\,4} \right)\), đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 5}}{{ - 5}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \((P): 2x + z - 2 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua M vuông góc với d và song song với (P).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 2 = 0\) và điểm \(I\left( { - 1;\,2;\, - 1} \right)\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5.

Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\left( {4{x^2} - 1} \right)^{ - 3}}\).

Gọi \(z_1, z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình \(3{z^2} - z + 2 = 0\). Tính \(T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R và có đồ thị là đường cong trơn (không bị gãy khúc), hình vẽ bên. Gọi hàm \(g\left( x \right) = f\left[ {f\left( x \right)} \right].\) Hỏi phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\) có đồ thị (C) và đường thẳng \(d:y =  - 2x + m - 1\) (\(m\) là tham số thực). Gọi \(k_1, k_2\) là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của d và (C). Tính tích \(k_1, k_2\).

Tích tất cả các nghiệm của phương trình \({3^{{x^2} + x}} = 9\) bằng

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)?

Gọi \(x, y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \({\log _9}x = {\log _6}y = {\log _4}\left( {x + y} \right)\) và \(\frac{x}{y} = \frac{{ - a + \sqrt b }}{2}\), với \(a, b\) là hai số nguyên dương. Tính \(T = {a^2} + {b^2}\).

Cho số phức \(z = a + bi\) \(\left( {a,{\rm{ }}b \in R} \right)\) thỏa mãn \(z + 1 + 3i - \left| z \right|i = 0\). Tính \(S = 2a + 3b\).

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường AA' và BC bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\). Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Cho \(z\) là số phức thỏa \(\left| {\overline z } \right| = \left| {z + 2i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z - 1 + 2i} \right| + \left| {z + 1 + 3i} \right|\) là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( { - 3;3; - 3} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):2x--2y + z + 15 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 5)^2} = 100\). Đường thẳng \(\Delta \) qua M nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt (S) tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \).