Câu hỏi Đáp án 2 năm trước 35

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 Biết rằng \(\widehat {ASB} = \widehat {ASD} = {90^0}\), mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (ABCD) cắt SD tại N. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện DABN. 

A. \(\dfrac{{2{a^3}}}{3}\) 

Đáp án chính xác ✅

B. \(\dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\) 

C. \(\dfrac{{4{a^3}}}{3}\) 

D. \(\dfrac{{4\sqrt 3 {a^3}}}{3}\) 

Lời giải của giáo viên

verified HocOn247.com

Gọi \(O = AC \cap BD\) và \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot SB\\SA \bot SD\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\)

Và \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\).

Trong \(SAC\) kẻ đường thẳng \(OI \bot AC\,\,\left( {I \in SC} \right)\).

Ta có \(OI \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow OI \bot BD\), \(OI \bot AC \Rightarrow OI \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( P \right)//\left( {OI} \right)\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(AM//OI\,\,\left( {M \in SC} \right)\).

 

\(\left( P \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) có điểm M chung, \(AB//CD \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {SCD} \right)\)= đường thẳng qua M và song song với AB, CD.

Trong \(\left( {SCD} \right)\) kẻ \(MN//CD\,\,\left( {N \in SD} \right)\). Khi đó \(\left( P \right) \equiv \left( {ABMN} \right)\).

Ta có \({V_{D.ABN}} = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta ABD}}.d\left( {N;\left( {ABD} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta ABD}}.d\left( {M;\left( {ABD} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}{S_{\Delta ABD}}.d\left( {I;\left( {ABD} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}IO.{S_{\Delta ABD}}\)

\( \Rightarrow {V_{D.ABN}} = \dfrac{2}{3}IO.\dfrac{1}{2}.4{a^2} = \dfrac{{4{a^2}}}{3}IO\).

Do đó để \({V_{D.ABN}}\) lớn nhất thì \(OI\) phải lớn nhất.

Vì \(SA \bot \left( {SBD} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow SA \bot SO \Rightarrow \Delta SOA\) vuông tại S.

Đặt \(SA = x\,\,\left( {0 < x < a\sqrt 2  = OA} \right)\). Ta có \(OA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.2a\sqrt 2  = a\sqrt 2  \Rightarrow SO = \sqrt {O{A^2} - S{A^2}}  = \sqrt {2{a^2} - {x^2}} \).

 

Kẻ \(SH \bot AC\,\,\left( {H \in AC} \right)\) ta có \(SH = \dfrac{{SA.SO}}{{\sqrt {S{A^2} + S{O^2}} }} = \dfrac{{x.\sqrt {2{a^2} - {x^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2} - {x^2}} }} = \dfrac{{x\sqrt {2{a^2} - {x^2}} }}{{a\sqrt 2 }}\); \(OH = \dfrac{{S{O^2}}}{{OA}} = \dfrac{{2{a^2} - {x^2}}}{{a\sqrt 2 }}\).

\(CH = OC + OH = a\sqrt 2  + \dfrac{{2{a^2} - {x^2}}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{{4{a^2} - {x^2}}}{{a\sqrt 2 }}\)

Áp dụng định lí Ta-lét (OI // SH) ta có:

\(\dfrac{{OI}}{{SH}} = \dfrac{{OC}}{{CH}} \Rightarrow OI = \dfrac{{\dfrac{{x\sqrt {2{a^2} - {x^2}} }}{{a\sqrt 2 }}.a\sqrt 2 }}{{\dfrac{{4{a^2} - {x^2}}}{{a\sqrt 2 }}}} = \dfrac{{x\sqrt {2{a^2} - {x^2}} .a\sqrt 2 }}{{4{a^2} - {x^2}}} = a\dfrac{{x\sqrt {4{a^2} - 2{x^2}} }}{{4{a^2} - {x^2}}}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm\(x\) và \(\sqrt {4{a^2} - 2{x^2}} \) ta có: \(x\sqrt {4{a^2} - 2{x^2}}  \le \dfrac{{{x^2} + 4{a^2} - 2{x^2}}}{2} = \dfrac{{4{a^2} - {x^2}}}{2}\)

\( \Rightarrow OI \le a\dfrac{{\dfrac{{4{a^2} - {x^2}}}{2}}}{{4{a^2} - {x^2}}} = \dfrac{a}{2}\). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow x = \sqrt {4{a^2} - 2{x^2}}  \Leftrightarrow {x^2} = 4{a^2} - 2{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{4}{3}{a^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).

Vậy \({V_{DABN}} \le \dfrac{{4{a^2}}}{3}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{2{a^3}}}{3}\)  hay \(\max {V_{DABN}} = \dfrac{{2{a^3}}}{3}\).

Chọn A.

CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1: Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {{e^x} + 1} \right)\left( {{e^x} - 12} \right)\left( {x + 1} \right){\left( {x - 1} \right)^2}\)  trên \(R.\) Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị? 

Xem lời giải » 2 năm trước 47
Câu 2: Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {m + 3} \right){x^2} + 3\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho qua điểm \(A\left( { - 1; - 1} \right)\) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến \(\left( C \right)\), một tiếp tuyến là \({\Delta _1}:\,\,y =  - 1\) và tiếp tuyến thứ hai là \({\Delta _2}\) thỏa mãn: \({\Delta _2}\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại N đồng thời cắt \(\left( C \right)\) tại P (khác N) có hoành độ bằng 3.

Xem lời giải » 2 năm trước 46
Câu 3: Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Hàm số \(y = f\left( {3 - x} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem lời giải » 2 năm trước 42
Câu 4: Trắc nghiệm

Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình thoi, biết \({\rm{AA}}' = 4a;\,AC = 2a,BD = a.\) Thể tích \(V\) của khối lăng trụ là  

Xem lời giải » 2 năm trước 40
Câu 5: Trắc nghiệm

Phương trình \({\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\cos x = 1\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left[ {0;3\pi } \right]\). 

Xem lời giải » 2 năm trước 40
Câu 6: Trắc nghiệm

Tìm số hạng không chứ x trong khai triển của \({\left( {{x^2} - \dfrac{1}{x}} \right)^{12}}.\)
Xem lời giải » 2 năm trước 40
Câu 7: Trắc nghiệm

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(1\), điểm \(M\) là trung điểm \(CD\). Cho hình vuông \(ABCD\) (tất cả các điểm trong của nó) quay quanh trục là đường thẳng \(AM\) ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay đó. 

Xem lời giải » 2 năm trước 39
Câu 8: Trắc nghiệm

Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({9^{{x^2} - 3x + 2}} = 1.\) 

Xem lời giải » 2 năm trước 39
Câu 9: Trắc nghiệm

Cho khối chóp \(SABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),\;\;SA = a,\;AB = a,\;AC = 2a,\;\angle BAC = {120^0}.\) Tính thể tích khối chóp \(SABC.\) 

Xem lời giải » 2 năm trước 39
Câu 10: Trắc nghiệm

Tìm tập xác định D  của hàm số \(y = \log { _3}\left( {{x^2} - x - 2} \right).\) 

Xem lời giải » 2 năm trước 39
Câu 11: Trắc nghiệm

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao \(AH = 4\). Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục AH. 

Xem lời giải » 2 năm trước 38
Câu 12: Trắc nghiệm

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx + 2\) đồng biến trên \(R.\)  

Xem lời giải » 2 năm trước 38
Câu 13: Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(R\) và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sai?

Xem lời giải » 2 năm trước 37
Câu 14: Trắc nghiệm

Tính diện tích xung quanh S của khối trụ có bán kính đáy \(r = 4\) và chiều cao \(h = 3.\) 

Xem lời giải » 2 năm trước 37
Câu 15: Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với \(A\left( {1;2;1} \right);\,\,B\left( { - 3;0;3} \right)\,\,C\left( {2;4; - 1} \right)\). Tìm tọa đô điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành ? 

Xem lời giải » 2 năm trước 37

📝 Đề thi liên quan

Xem thêm »
Xem thêm »

❓ Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »