Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có \(SA=x\) và tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Khi thể tích khối chóp \(S.ABCD\) đạt giá trị lớn nhất thì \(x\) nhận giá trị nào sau đây?
A. \(x=\frac{\sqrt{35}}{7}\)
B. x = 1
C. \(x=\frac{9}{4}\)
D. \(x=\frac{\sqrt{34}}{7}\)
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
.png)
Gọi \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD,\) do \(SB=SC=SD\) nên \(SH\) là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD,\) suy ra \(SH\bot \left( ABCD \right).\)
Do tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\) là đường trung trực của đường thẳng \(BD\) do đó \(H\in AC.\)
Đặt \(\alpha =\widehat{ACD},0<\alpha <\frac{\pi }{2}\Rightarrow \widehat{BCD}=2\alpha ,\) suy ra \({{S}_{ABCD}}=2{{S}_{BCD}}=BC.CD.\sin \widehat{BCD}=\sin 2\alpha .\)
Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\Rightarrow CD\bot SK,\) mà \(CD\bot SH\) suy ra \(CD\bot HK.\)
\(HC=\frac{CK}{\cos \alpha }=\frac{1}{2\cos \alpha },SH=\sqrt{S{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{4{{\cos }^{2}}\alpha }}=\frac{\sqrt{4{{\cos }^{2}}\alpha -1}}{2\cos \alpha }\).
Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \(V=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}\frac{\sqrt{4\cos \alpha -1}}{2\cos \alpha }.\sin 2\alpha =\frac{1}{3}\sin \alpha \sqrt{4{{\cos }^{2}}\alpha -1}\)
Do đó \(V=\frac{1}{6}\left( 2\sin \alpha \right)\sqrt{4{{\cos }^{2}}\alpha -1}\le \frac{1}{6}\frac{4{{\sin }^{2}}\alpha +4{{\cos }^{2}}\alpha -1}{2}=\frac{1}{4}.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(2\sin \alpha =\sqrt{4{{\cos }^{2}}\alpha -1}\Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}\alpha =4{{\cos }^{2}}\alpha -1\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{5}{8}\)
\(\Leftrightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{4}.\) Khi đó \(HC=\frac{2}{\sqrt{10}},SH=\frac{\sqrt{15}}{5}.\)
Gọi \(O=AC\cap BD,\) suy ra \(AC=2OC=2CD.\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{2}.\)
\(AH=AC-HC=\frac{\sqrt{10}}{2}-\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.\)
Vậy \(x=SA=\sqrt{S{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{\frac{3}{5}+\frac{9}{10}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật. Biết \(AB=a\sqrt{2},AD=2a,SA\bot \left( ABCD \right)\) và \(SA=a\sqrt{2}.\) Góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(AB\) bằng
Xét phép thử T: “Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất” và biến cố A liên quan đến phép thử: “Mặt lẻ chấm xuất hiện”. Chọn khẳng định sai trong những khẳng định dưới đây:
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng 1, gọi \(M\) là trung điểm \(AD\) và \(N\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(BN=2NC.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(CD\) là
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a.\) Gọi \(M;N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(BC.\) Biết góc giữa \(MN\) và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(DM\) là:
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB=AC=5a;BC=6a.\) Các mặt bên tạo với đáy góc \({{60}^{0}}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\)
Cho khối chóp có thể tích là V, khi diện tích của đa giác đáy giảm đi ba lần thì thể tích của khối chóp bằng bao nhiêu.
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+{{10}^{2020}}\) trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\) là:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:
.png)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(BB'=a,\) đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,AB=a.\) Tính thể tích của khối lăng trụ.
Cho tứ giác \(ABCD\) biết số đo của 4 góc của tứ giác lập thành cấp số cộng và có 1 góc có số đo bằng \({{30}^{0}},\) góc có số đo lớn nhất trong 4 góc của tứ giác này là:
Cho hàm số \(y=\left| x+\sqrt{16-{{x}^{2}}} \right|+a\) có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là \(m,M,\) Biết \(m+M={{a}^{2}}.\) Tìm tích \(P\) tất cả giá trị \(a\) thỏa mãn đề bài.
Cho \(f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}-\frac{1}{2}x+2020\) và \(h\left( x \right)=f\left( 3\sin x \right).\) Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ \frac{\pi }{6};6\pi \right]\) của phương trình \(h'\left( x \right)=0\) là
Cho hàm số \(y=\frac{mx-8}{2x-m}.\) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
