Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho số phức z thỏa \(\left| z \right|=1\). Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left| {{z}^{5}}+{{{\bar{z}}}^{3}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|\). Tính M-m.
A. m = -4; n = 3
B. m = 4; n = 3
C. m = -4; n = 4
D. m = 4; n = -4
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
Vì \(\left| z \right|=1\) và \(z.\bar{z}={{\left| z \right|}^{2}}\) nên ta có \(\bar{z}=\frac{1}{z}\).
Từ đó, \(P=\left| {{z}^{5}}+{{{\bar{z}}}^{3}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\left| z \right|\left| {{z}^{4}}+{{{\bar{z}}}^{4}}+6 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\left| {{z}^{4}}+{{{\bar{z}}}^{4}}+6 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|\)
Đặt \({{z}^{4}}=x+iy\), với \(x,\,y\in \mathbb{R}\). Do \(\left| z \right|=1\) nên \(\left| {{z}^{4}} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=1\) và \(-1\le x,\,y\le 1\)
Khi đó \(P=\left| x+iy+x-iy+6 \right|-2\left| x+iy+1 \right|=\left| 2x+6 \right|-2\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}\)
\(=2x+6-2\sqrt{2x+2}={{\left( \sqrt{2x+2}-1 \right)}^{2}}+3\)
Do đó \(P\ge 3\) Lại có \(-1\le x\le 1\Rightarrow 0\le \sqrt{2x+2}\le 2\Rightarrow -1\le \sqrt{2x+2}-1\le 1\Rightarrow P\le 4\)
Vậy M=4 khi \({{z}^{4}}=\pm 1\) và m=3 khi \({{z}^{4}}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\). Suy ra \(M-m=1\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\). Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm \(f'\left( x \right)\). Hàm số \(g\left( x \right)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+2} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị ?
.jpg.png)
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( 3;-1;2 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 4;5;-7 \right)\) là:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\left( d \right):\left\{ \begin{align} & x=3+t \\ & y=1-2t \\ & z=2 \\ \end{align} \right.\) Một vectơ chỉ phương của d là
Cho hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+5}\) Khi đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây?
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.jpg.png)
Có bao nhiêu giao điểm của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+3x-3\) với trục Ox?
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-2 \right)\ge -1\)
Cho tập hợp M có 30 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của M là
Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng \(11\) là:
Trong không gian\(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( 2;3;-1 \right)\) và \(B\left( 0;-1;1 \right)\). Trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) có tọa độ là
Cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+2z-3=0\) Tính bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\)
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức?
.jpg.png)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 1;3 \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=2\) và \(f\left( 3 \right)=9\). Tính \(I=\int\limits_{1}^{3}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}\).
Số nghiệm của phương trình \({{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x \right)=1\) là
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của c để tồn tại các số thực \(a,\,\,b>1\) thỏa mãn \({{\log }_{9}}a={{\log }_{12}}b={{\log }_{16}}\frac{5b-a}{c}\).
