Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho x, y là các số thực dương thỏa mãn \(\ln \frac{{\sqrt {1 + xy} }}{{x + y}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + xy - 1}}{2}\). Biết giá trị lớn nhất của của biểu thức \(P = \frac{{xy}}{{x + y}}\) bằng \(\frac{{\sqrt a }}{b}\) trong đó a là số nguyên tố. Tính ab2
A. 80
B. 180
C. 48
D. 108
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
Với x, y > 0 ta có \(\ln \frac{{\sqrt {1 + xy} }}{{x + y}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + xy - 1}}{2} \Leftrightarrow \ln \frac{{1 + xy}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = {\left( {x + y} \right)^2} - \left( {xy + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \ln \left( {1 + xy} \right) + \left( {1 + xy} \right) = \ln {\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x + y} \right)^2}\,\,\left( 1 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( u \right) = \ln u + u\,\,\,\,\left( {u > 0} \right)\) có \(f'\left( u \right) = \frac{1}{u} + 1 > 0,\forall u > 0 \Rightarrow \) hàm số f(u) đồng biến trên khoảng \(\,\left( {0; + \infty } \right)\).
Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {1 + xy} \right) = f{\left( {x + y} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow 1 + xy = {\left( {x + y} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - xy = 1.\)
Đặt \(t = x + y\left( {t > 0} \right) \Rightarrow xy = {t^2} - 1\). Khi đó \(P = \frac{{{t^2} - 1}}{t}\).
Áp dụng bất đẳng thức \(xy \le {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2} \Rightarrow {t^2} - 1 \le \frac{{{t^2}}}{4} \Rightarrow {t^2} \le \frac{4}{3} \Rightarrow t \in \left( {0;\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right]\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} - 1}}{t}\) với \(t \in \left( {0;\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right]\). Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 1}}{{{t^2}}} > 0,\forall t \Rightarrow \) Hàm số f(t) đồng biến trên \(\left( {0;\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right]\).
\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 6 \end{array} \right.\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho khối nón có bán kính đáy \(r = \sqrt 3 \) và chiều cao h = 4. Tính thể tích V của khối nón đã cho.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = AA' = a,AD = 2a. Gọi góc giữa đường chéo A'C và mặt phẳng đáy (ABCD) là \(\alpha\). Khi đó \(\tan \alpha\) bằng
.png)
Xếp ngẫu nhiên 4 bạn nam và 5 bạn nữ ngồi vào 9 cái ghế kê theo một hàng ngang. Xác suất để có được 5 bạn nữ ngồi cạnh nhau là:
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left( {1 + i} \right)\bar z - 1 - 3i = 0\). Tìm phần ảo của số phức \(w = 1 - zi + \bar z\).
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị \(y = - {x^2} + 2{\rm{x}} + 1\); \(y = 2{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 1\).
Cho cấp số cộng (un) với u1 = 2 và công sai d = 1. Khi đó u3 bằng
Cho hàm số y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên R và số thực a dương thỏa \(\int\limits_0^a {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3} \). Tính \(I = \int\limits_{ - a}^a {\left( {f\left( x \right) - x} \right){\rm{d}}x} \).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z + 1 = 0\) và \(\left( Q \right):2x - y + z - 3 = 0\) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng \(\left( \Delta \right)\). Một véc tơ chỉ phương của \(\left( \Delta \right)\) có tọa độ là
Cho số phức z = 3 + i. Tính \(\left| {\overline z } \right|\)
Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 2a và chu vi đáy bằng \(2\pi a\). Tính diện tích xung quanh S của hình nón.
Cho số thực a > 1. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm thuộc đồ thị các hàm số \(y = {a^x};\,y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x};y = {\log _{\frac{1}{a}}}x.\) Biết tam giác ABC vuông cân đỉnh A, AB = 4 và đường thẳng AC song song với trục Oy. Khi đó giá trị a bằng:
Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là một tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a, \(AA' = a\sqrt 2 \) , M là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm K(2;4;6), gọi K' là hình chiếu vuông góc của K lên Oz, khi đó trung điểm của OK' có tọa độ là:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (P) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0\). Tọa độ tâm T của (P) là.
Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, S đôi một vuông góc với nhau và \(SA = 2\sqrt 3 \), SB = 2, SC = 3. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
