Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiSân trường có một bồn hoa hình tròn tâm \(O.\) Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh \(O\) và đối xứng nhau qua \(O\) (như hình vẽ). Hai đường parabol cắt đường tròn tại bốn điểm \(A,B,C,D\) tạo thành một hình vuông có cạnh bằng \(4m.\) Phần diện tích \({S_1},{S_2}\) dùng để trồng hoa, phần diện tích \({S_3},{S_4}\) dùng để trồng cỏ. Biết kinh phí trồng hoa là \(150.000\) đồng/\(1{m^2},\) kinh phí để trồng cỏ là \(100.000\) đồng/\(1{m^2}.\) Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)
.JPG)
A. \(3.000.000\) đồng
B. \(3.270.000\) đồng
C. \(5.790.000\) đồng
D. \(6.060.000\) đồng
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
.JPG)
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(4\) nên
\(BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}} = 4\sqrt 2 \Rightarrow OB = 2\sqrt 2 \) và \(A\left( { - 2;2} \right);B\left( {2;2} \right)\)
Phương trình đường tròn tâm \(O\) bán kính \(r = 2\sqrt 2 \) là \({x^2} + {y^2} = 8 \Rightarrow y = \sqrt {8 - {x^2}} \)
Parabol đi qua hai điểm \(A\left( { - 2;2} \right);B\left( {2;2} \right)\) và có đỉnh \(O\left( {0;0} \right)\) có dạng \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\)
Khi đó \(2 = a{.2^2} \Rightarrow a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}{x^2}\,\,\left( P \right)\)
Từ đồ thị ta có \({S_1}\) là giới hạn của hai đồ thị hàm số \(y = \sqrt {8 - {x^2}} \) và \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) và hai đường thẳng \(x = - 2;x = 2.\)
Nên ta có \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - \dfrac{1}{2}{x^2}} \right)} dx = \int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {8 - {x^2}} } dx - \left. {\dfrac{1}{6}{x^3}} \right|_{ - 2}^2 = I - \dfrac{8}{3}\)
Xét \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {8 - {x^2}} dx} \) , đặt \(x = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = 2\sqrt 2 \cos tdt\)
Đổi biến số \(x = - 2 \Rightarrow t = - \dfrac{\pi }{4}\) ; \(x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{4}\)
Từ đó \(I = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\sqrt {8 - 8{{\sin }^2}t} .2\sqrt 2 \cos tdt = } \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {8{{\cos }^2}tdt = } 4\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt = \left. {4t + 2\sin 2t} \right|_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} = 2\pi + 4} \)
Nên \({S_1} = I - \dfrac{8}{3} = 2\pi + 4 - \dfrac{8}{3} = 2\pi + \dfrac{4}{3}\)
Lại thấy \({S_1} = {S_2};{S_3} = {S_4}\) (vì hai parapol đối xứng nhau qua đình \(O\)), diện tích cả bồn hoa là
\(S = \pi {r^2} = \pi {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 8\pi .\)
Từ đó diện tích trồng hoa là \({S_1} + {S_2} = 2{S_1} = 4\pi + \dfrac{8}{3}\,\left( {{m^2}} \right)\)
Diện tích trồng cỏ là \({S_3} + {S_4} = S - \left( {{S_1} + {S_2}} \right) = 4\pi - \dfrac{8}{3}\,\left( {{m^2}} \right)\)
Nên tổng số tiền trồng bồn hoa là \(\left( {4\pi + \dfrac{8}{3}} \right).150000 + \left( {4\pi - \dfrac{8}{3}} \right).100000 \approx 32749256\) đồng.
Chọn B.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),\) tam giác \(ABC\) vuông ở \(B.\) \(AH\) là đường cao của \(\Delta SAB.\) Tìm khẳng định sai.
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là \(B\) và chiều cao \(h\) được tính bởi công thức
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(B\left( {2;1; - 3} \right)\), đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right):x + y + 3z = 0,\left( R \right):2x - y + z = 0\) là:
Cho lăng trụ đều \(ABC.EFH\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(S\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(BH\). Thể tích khối đa diện \(ABCSFH\) bằng
Tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 2\) tại điểm có hoành độ bằng \( - 3\) có phương trình là
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đều có \(AB = 2\) và \(SA = 3\sqrt 2 .\) Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho phương trình \({x^9} + 3{x^3} - 9x = m + 3\sqrt[3]{{9x + m}}\) có đúng hai nghiệm thực. Tính tổng các phần tử của \(S\).
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) để hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) - mx + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z + 4 = 0.\) Khi đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một véc tơ pháp tuyến là
Hình nón có diện tích xung quanh bằng \(24\pi \) và bán kính đường tròn đáy bằng \(3\). Đường sinh của hình nón có độ dài bằng:
Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 1} \) và \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx = - 2.} \) Giá trị của \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \) bằng
Tìm giá trị cực tiểu \({y_{CT}}\) của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 2 = 0\) và điểm \(I\left( { - 1;2; - 1} \right)\). Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng \(5.\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a = \overrightarrow i + 3\overrightarrow j - 2\overrightarrow k \). Tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow a \) là
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(BC = 2a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2a\sqrt 3 \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SM\) bằng
