Dựa vào đồ thị, suy ra \(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x <  - 1\\
1 < x < 4
\end{array} \right..\)

Ta có \(g'\left( x \right) =  - 2f'\left( {3 - 2x} \right){.2^{f\left( {3 - 2x} \right)}}.\ln 2.\)

Xét \(g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow f'\left( {3 - 2x} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3 - 2x <  - 1\\
1 < 3 - 2x < 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 2\\
 - \frac{1}{2} < x < 1
\end{array} \right..\)

Vậy \(g(x)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \frac{1}{2};1} \right),\) \(\left( {2; + \infty } \right).\)

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra \(f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x <  - 2\\
x > 3
\end{array} \right.\) và \(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 3.\)

Ta có \(g'\left( x \right) = \left( {4x - \frac{5}{2}} \right)f'\left( {2{x^2} - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}} \right).\) Xét \(g'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
4x - \frac{5}{2} > 0\\
f'\left( {2{x^2} - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}} \right) < 0
\end{array} \right.\\
\\
\left\{ \begin{array}{l}
4x - \frac{5}{2} < 0\\
f'\left( {2{x^2} - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}} \right) > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right..\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
4x - \frac{5}{2} > 0\\
f'\left( {2{x^2} - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}} \right) < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > \frac{5}{8}\\
 - 2 < 2{x^2} - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} < 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < \frac{9}{4}.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
4x - \frac{5}{2} < 0\\
f'\left( {2{x^2} - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}} \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x < \frac{5}{8}\\
2{x^2} - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} > 3
\end{array} \right.\\
\\
\left\{ \begin{array}{l}
x < \frac{5}{8}\\
2{x^2} - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} <  - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x <  - 1\\
\\
\\
\frac{1}{4} < x < \frac{5}{8}
\end{array} \right..\)

Đối chiếu các đáp án, ta chọnC

Ta có \(g'\left( x \right) =  - \frac{1}{2}f\left( {1 - \frac{x}{2}} \right) + 4 =  - \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {1 - \frac{x}{2}} \right)}^2} - 2\left( {1 - \frac{x}{2}} \right)} \right] + 4 = \frac{9}{2} - \frac{{{x^2}}}{8}.\)

Xét \(\frac{9}{2} - \frac{{{x^2}}}{8} > 0 \Leftrightarrow {x^2} < 36 \to  - 6 < x < 6.\)

Ta có \(g'\left( x \right) = 2xf\left( {{x^2}} \right) = 2{x^5}\left( {{x^2} - 9} \right){\left( {{x^2} - 4} \right)^2};\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^5}\left( {{x^2} - 9} \right){\left( {{x^2} - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  \pm 3\\
x =  \pm 2
\end{array} \right..\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọnD.

Ta có \(g'\left( x \right) = 2\left( {x - 1} \right)f'\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\)

\(\begin{array}{l}
 = 2\left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^2} - 2x + 2 - 1} \right)}^2}\left( {{{\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}^2} - 2\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)} \right)} \right]\\
 = 2{\left( {x - 1} \right)^5}\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^4} - 1} \right].
\end{array}\)

Xét \(2{\left( {x - 1} \right)^5}\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^4} - 1} \right] > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
0 < x < 1\\
x > 2
\end{array} \right..\)

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( {0;1} \right),\) \(\left( {2; + \infty } \right).\)

Vậy số 3 thuộc khoảng đồng biến của hàm số \(g(x)\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1\\
x = 2
\end{array} \right..\)

Xét \(g'\left( x \right) = \frac{{20 - 5{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}f'\left( {\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} \right);{\rm{ }}g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
20 - 5{x^2} = 0\\
\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 0\\
\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 1\\
\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  \pm 2\\
x = 0\\
x = 1{\rm{ }}\left( {{\rm{nghiem boi chan}}} \right)\\
x = 4{\rm{ }}\left( {{\rm{nghiem boi chan}}} \right)
\end{array} \right..\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D

Chú ý: Dấu của \(g'(x)\) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\) ta chọn \(x = 5\)

\(x = 5 \to \frac{{20 - 5{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} < 0.\)     (1)

\(x = 5 \to \frac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = \frac{{25}}{{29}} \to f'\left( {\frac{{25}}{{29}}} \right) = \frac{{25}}{{29}}{\left( {\frac{{25}}{{29}} - 1} \right)^2}\left( {\frac{{25}}{{29}} - 2} \right) < 0.\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(g'\left( x \right) > 0\) trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right).\)

Ta có \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < 0\\
x > 2
\end{array} \right..\)

Xét \(g'\left( x \right) = \left( {2x - 8} \right).f'\left( {{x^2} - 8x + m} \right).\) Để hàm số \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(g'\left( x \right) \ge 0,{\rm{ }}\forall x > 4\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {2x - 8} \right).f'\left( {{x^2} - 8x + m} \right) \ge 0,{\rm{ }}\forall x > 4\\
 \Leftrightarrow f'\left( {{x^2} - 8x + m} \right) \ge 0,{\rm{ }}\forall x > 4\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 8x + m \le 0,\,\,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\\
{x^2} - 8x + m \ge 2,\,\,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 18.
\end{array}\)

Vậy \(18 \le m < 100.\)

Ta thấy đồ thị hàm số \(f(x)\) có 4 điểm chung với trục hoành \({x_1};{\rm{ }}0;{\rm{ }}{x_2};{\rm{ }}{x_3}\) nhưng chỉ cắt thực sự tại hai điểm là 0 và \(x_3\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số \(y=f(x)\) có 2 điểm cực trị.

Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( {x - 2017} \right) - 2018;{\rm{   }}g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {x - 2017} \right) = 2018.\)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) suy ra phương trình \(f'\left( {x - 2017} \right) = 2018\) có 1 nghiệm đơn duy nhất. Suy ra hàm số \(g(x)\) có 1 điểm cực trị.

Ta có \(g'\left( x \right) =  - f'\left( {3 - x} \right) = \left[ {{{\left( {3 - x} \right)}^2} - 1} \right]\left[ {4 - \left( {3 - x} \right)} \right] = \left( {2 - x} \right)\left( {4 - x} \right)\left( {x + 1} \right);\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( {4 - x} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
x = 2\\
x = 4
\end{array} \right..\)

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số \(g(x)\) đạt cực đại tại \(x=2\)

Ta có \(g'\left( x \right) = 2xf'\left( {{x^2}} \right) = 2{x^5}\left( {{x^2} - 1} \right){\left( {{x^2} - 4} \right)^2};\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^5}\left( {{x^2} - 1} \right){\left( {{x^2} - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  \pm 1\\
{\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^2} = 0
\end{array} \right..\)

Ta thấy \(x =  \pm 1\) và \(x=0\) là các nghiệm bội lẻ \( \to \) hàm số \(g(x)\) có 3 điểm cực trị.

Xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 1 = 0\\
x - m = 0\\
x + 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1{\rm{ }}\left( {{\rm{nghiem boi 4}}} \right)\\
x = m{\rm{ }}\left( {{\rm{nghiem boi 5}}} \right)\\
x =  - 3{\rm{ }}\left( {{\rm{nghiem boi 3}}} \right)
\end{array} \right..\)

Nếu \(m =  - 1\) thì hàm số \(f(x)\) có hai điểm cực trị âm (\(x =  - 3;{\rm{ }}x =  - 1\)) . Khi đó, hàm số \(f\left( {\left| x \right|} \right)\) chỉ có 1 cực trị là \(x=0\). Do đó, \(m=-1\) không thỏa yêu cầu đề bài.

Nếu \(m=-3\) thì hàm số \(f(x)\) không có cực trị. Khi đó, hàm số \(f\left( {\left| x \right|} \right)\) chỉ có 1 cực trị là \(x=0\). Do đó, \(m=-3\) không thỏa yêu cầu đề bài.

Khi \(\left\{ \begin{array}{l}
m \ne  - 1\\
m \ne  - 3
\end{array} \right.\) thì hàm số \(f(x)\) có hai điểm cực trị là \(x=m\) và \(x=-3<0\)

Để hàm số \(f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 3 điểm cực trị thì hàm số \(f(x)\) phải có hai điểm cực trị trái dấu \( \Leftrightarrow m > 0 \to m \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}.\)

Vì hàm \(f(x)\) đã cho có 2 điểm cực trị nên \(f\left( x \right) - 2m\) cũng luôn có 2 điểm cực trị.

Do đó yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) số giao điểm của đồ thị \(f\left( x \right) - 2m\) với trục hoành là 3.

Để số giao điểm của đồ thị \(f\left( x \right) - 2m\) với trục hoành là 3 ta cần tịnh tiến đồ thị \(f(x)\) xuống dưới lớn hơn 4 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 11 đơn vị \( \to \left\{ \begin{array}{l}
 - 2m <  - 4\\
 - 2m >  - 11
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 2\\
m < \frac{{11}}{2}
\end{array} \right..\)