Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [1; 2] thỏa mãn \(\log _2^3a + \log _2^3b + \log _2^3c \le 1.\) Khi biểu thức \(P = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3\left( {{{\log }_2}{a^a} + {{\log }_2}{b^b} + {{\log }_2}{c^c}} \right)\) đạt giá trị lớn nhất thì tổng a + b + c là
A. 3
B. \({3.2^{\frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}}}\)
C. 4
D. 6
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
Đặt \(x={{\log }_{2}}a,y={{\log }_{2}}b,z={{\log }_{2}}c.\)
Ta có \(\log _{2}^{3}a+\log _{2}^{3}b+\log _{2}^{3}c\le 1\Rightarrow {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}\le 1;0\le x,y,z\le 1.\)
Biểu thức \(P={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3\left( ax+by+cz \right).\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)=t-{{\log }_{2}}t\) với \(t\in \left[ 1;2 \right].{f}'\left( t \right)=1-\frac{1}{t\ln 2};{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{t}_{0}}=\frac{t}{\ln 2}.\)
Suy ra \(f\left( t \right)\le max\left\{ f\left( 1 \right),f\left( 2 \right),f\left( {{t}_{0}} \right) \right\}=1,x\in \left[ 1;2 \right].\)
Do đó, \(a-x-1\le 0\Rightarrow {{a}^{3}}-3ax-{{x}^{3}}-1=\left( a-x-1 \right)\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}}+1+a+ax-x \right)\le 0.\)
Suy ra \({{a}^{3}}-3ax\le {{x}^{3}}+1.\)
Biểu thức \(P={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3\left( ax+by+cz \right)\le {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}+3\le 4,{{P}_{max}}=4.\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai trong ba số x, y, z bằng 0 và số còn lại bằng 1. Vậy a+b+c=1.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{3} < b < a < 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}\left( {\frac{{3b - 1}}{4}} \right) + 12\log _{\frac{b}{a}}^2a - 3.\)
Một hình trụ có bán kính đáy r = a độ dài đường sinh l = 2a. Diện tích toàn phần của hình trụ này là
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng \(\left( d \right):\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}.\) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;0;-1) và vuông góc với (d) có phương trình là
Xếp ngẫu nhiên ba người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa bé vào ngồi 6 cái ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất sao cho đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà là bao nhiêu?
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 2}}\) trên tập hợp \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left[ {1;\frac{3}{2}} \right].\) Tính P = M + m.
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng \(\frac{{3R}}{2}.\) Mặt phẳng (a) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng \(\frac{{R}}{2}.\) Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (a) là
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(2;-1;0) lên mặt phẳng (P): 3x - 2y + z + 6 = 0 là
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}x > {\log _2}\left( {8 - x} \right)\) là
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a và \(AC = a\sqrt 3 .\) Tính độ dài đường sinh l của hình nón có được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
Cho (un) là cấp số cộng với công sai d. Biết \({u_5} = 16,{u_7} = 22.\) Tính u1.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [-1;1] và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 7,\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} = 1\). Khi đó \(\int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \) bằng
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): x + 2y - 5 = 0 nhận vec-tơ nào trong các vec-tơ sau làm vec-tơ pháp tuyến?
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = - \left| {{x^3} - 3x + m} \right|\) trên đoạn [0;2] bằng -3. Tổng tất cả các phần tử của S là
