Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hai đường thẳng cố định a và b chéo nhau. Gọi AB là đoạn vuông góc chung của a và b (A thuộc a, B thuộc b). Trên a lấy điểm M (khác A), trên b lấy điểm N (khác B) sao cho AM = x,BN = y,x + y = 8. Biết AB = 6, góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 60°. Khi thể tích khối tứ diện ABNM đạt giá trị lớn nhất hãy tính độ dài đoạn MN (trong trường hợp MN > 8).
A. \(2\sqrt {21} \)
B. 12
C. \(2\sqrt {39} \)
D. 13
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
Dựng hình chữ nhật ABNC.
\(\left( {\widehat {AM,BN}} \right) = \left( {\widehat {AM,AC}} \right) = 60^\circ \)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot AM\\
AB \bot BN
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB \bot AM\\
AB \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {ACM} \right)\)
\({V_{ABNM}} = {V_{MABC}} = \frac{1}{3}AB.{S_{ACM}} = \frac{1}{6}AB.AC.AM\sin \widehat {CAM} = \frac{1}{6}.6.x.y.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}xy\)
\({V_{ABNM}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}xy \le \frac{{\sqrt 3 }}{2}\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = 8\sqrt 3 \). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 4.
Khi đó AM = BN = AC = 4
Lại có \(AB//CN \Rightarrow CN \bot \left( {AMC} \right) \Rightarrow CN \bot CM \Rightarrow M{N^2} = C{M^2} + C{N^2}\)
Mặt khác \(\widehat {MAC} = 60^\circ \) hoặc \(\widehat {MAC} = 120^\circ \)
Trường hợp 1: \(\widehat {MAC} = 60^\circ \Rightarrow \) \(\Delta AMC\) đều \( \Rightarrow CM = 4 \Rightarrow MN = \sqrt {{4^2} + {6^2}} = 2\sqrt {13} \)
Trường hợp 2: \(\widehat {MAC} = 120^\circ \)
\( \Rightarrow CM = \sqrt {A{M^2} + A{C^2} - 2AM.AC\cos 120^\circ } = \sqrt {48} \Rightarrow MN = \sqrt {48 + {6^2}} = 2\sqrt {41} \)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát là un = 3n - 2. Tìm công sai d của cấp số cộng.
Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \frac{{\sin x + 2\cos x + 1}}{{\sin x + \cos x + 2}}\) là
Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 3} \right)\).
.png)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết \(A\left( {1;3} \right),B\left( { - 2; - 2} \right),C\left( {3;1} \right)\). Tính cosin góc A của tam giác.
Cho cấp số nhân (un) có u1 = -3, công bội q = -2. Hỏi -192 là số hạng thứ mấy của (un) ?
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x - y + 1 = 0. Phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow v \) nào sau đây biến đường thẳng d thành chính nó?
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x - 1}}\) là đường thẳng có phương trình?
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\):
Cho hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60°. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).
Cho tập \(A = \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}\); \(B = \left\{ {3;4;5;6;7} \right\}\). Tập A \ B là
Cho tứ diện MNPQ. Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, MP, MQ. Tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{MIJK}}}}{{{V_{MNPQ}}}}\) bằng
Nghiệm của phương trình \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) là
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A', B', C', D' theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp AA'B'C'D' và S.ABCD.
