Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{x+m}{x+1}\) (\(m\) là tham số thực). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) sao cho \(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f\left( x \right) \right|+\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,\left| f\left( x \right) \right|=2\). Số phần tử của \(S\) là
A. 6
B. 2
C. 1
D. 4
Lời giải của giáo viên
Ta có: \({f}'\left( x \right)=\frac{1-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\).
Nếu \(m=1\) thì \(f\left( x \right)=\frac{x+1}{x+1}=1,\forall x\ne -1\). Khi đó \(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f\left( x \right) \right|+\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,\left| f\left( x \right) \right|=2\) (thỏa mãn).
Do đó \(m=1\) thỏa mãn bài toán.
Nếu \(m\ne 1\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) đơn điệu trên \(\left[ 0;1 \right]\).
- TH1: \(\left( \frac{m+1}{2} \right).m\le 0\) thì \(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,\left| f\left( x \right) \right|=0,\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f\left( x \right) \right|=\max \left\{ \frac{\left| m+1 \right|}{2};\left| m \right| \right\}\).
Do đó: \(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f\left( x \right) \right|+\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,\left| f\left( x \right) \right|=2\)\(\Leftrightarrow 0+\frac{\left| \frac{m+1}{2}+m \right|+\left| \frac{m+1}{2}-m \right|}{2}=2\)
\(\Leftrightarrow \frac{\left| 3m+1 \right|+\left| m-1 \right|}{4}=2\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 1:m = 2\left( l \right)\\
1 > m \ge - \frac{1}{3}:m = 3\left( l \right)\\
m < - \frac{1}{3}:m = - 2\left( l \right)
\end{array} \right.\). (so với điều kiện TH1)
- TH2: \(\left( \frac{m+1}{2} \right).m>0\) thì \(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,\left| f\left( x \right) \right|=\min \left\{ \frac{\left| m+1 \right|}{2};\left| m \right| \right\},\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f\left( x \right) \right|=\max \left\{ \frac{\left| m+1 \right|}{2};\left| m \right| \right\}\)
Do đó \(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f\left( x \right) \right|+\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,\left| f\left( x \right) \right|=2\)
\(\Leftrightarrow \frac{\left| \left| \frac{m+1}{2}+m \right|-\left| \frac{m+1}{2}-m \right| \right|}{2}+\frac{\left| \frac{m+1}{2}+m \right|+\left| \frac{m+1}{2}-m \right|}{2}=2\)
\(\Leftrightarrow \frac{\left| \left| 3m+1 \right|-\left| m-1 \right| \right|}{4}+\frac{\left| 3m+1 \right|+\left| m-1 \right|}{4}=2\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = - \frac{5}{3}
\end{array} \right.\)
Vậy \(S=\left\{ 1;\frac{-5}{3} \right\}\).
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB=2a, AC=4a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a (minh học như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) và trục hoành là
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{1}}=3\) và \({{u}_{2}}=9\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
Tập nghiệm của bất phương trình \({9^x} + {2.3^x} - 3 > 0\) là
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 1; -1) trên mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là
Xét các số thực a và b thỏa mãn \({\log _3}\left( {{3^a}{{.9}^b}} \right) = {\log _9}3\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2{x^2}\), y = -1, x = 0 và x = 1 được tính bởi công thức nào dưới đây?
Xét \(\int\limits_0^2 {x{{\rm{e}}^{{x^2}}}dx} \), nếu đặt \(u = {x^2}\) thì \(\int\limits_0^2 {x{{\rm{e}}^{{x^2}}}dx} \) bằng
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của f’(x) như sau:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Gọi \({{z}_{0}}\) là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \({{z}^{2}}-2z+5=0.\) Môđun của số phức \({{z}_{0}}+i\) bằng
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9\). Tâm của (S) có tọa độ là
Cho khối nón có chiều cao h=3 và bán kính đáy r=4. Thể tích của khối nón đã cho bằng
Cho khối chóp có diện tích đáy B=3 và chiều cao h=4. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 0;\frac{5\pi }{2} \right]\) của phương trình \(f\left( \sin x \right)=1\) là
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), \(SA = a\sqrt 2 \), tam giác ABC vuông cân tại B và AC=2a (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng