Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=0\) và \({f}'\left( x \right)=\sin x.{{\sin }^{2}}2x,\forall x\in R\). Khi đó \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
A. \(\frac{{104}}{{225}}\)
B. \(-\frac{{104}}{{225}}\)
C. \(\frac{{121}}{{225}}\)
D. \(\frac{{167}}{{225}}\)
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
Ta có \({f}'\left( x \right)=\sin x.{{\sin }^{2}}2x,\forall x\in R\) nên \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \({f}'\left( x \right)\).
Có \(\int{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=\int{\sin x.{{\sin }^{2}}2x\text{d}x}=\int{\sin x.\frac{1-\cos 4x}{2}\text{d}x}=\int{\frac{\sin x}{2}\text{d}x-\int{\frac{\sin x.\cos 4x}{2}\text{d}x}}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\sin x}\text{d}x-\frac{1}{4}\int{\left( \sin 5x-\sin 3x \right)\text{d}x=-\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{20}\cos 5x-\frac{1}{12}\cos 3x+C}\).
Suy ra \(f\left( x \right)=-\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{20}\cos 5x-\frac{1}{12}\cos 3x+C,\forall x\in \mathbb{R}$. Mà \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=0\Rightarrow C=0\).
Do đó \(f\left( x \right)=-\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{20}\cos 5x-\frac{1}{12}\cos 3x,\forall x\in R\). Khi đó:
\(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( -\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{20}\cos 5x-\frac{1}{12}\cos 3x \right)\text{d}x}=\left. \left( -\frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{100}\sin 5x-\frac{1}{36}\sin 3x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=-\frac{104}{225}\).
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 0;\frac{5\pi }{2} \right]\) của phương trình \(f\left( \left| \sin x \right| \right)=2\) là
Trong không gian Oxyz, cho điểm K(1;-2;1). Mặt phẳng (P) đi qua K và vuông góc với trục Oy có phương trình là
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.jpg.png)
Cho hai số thực a>1,b>1. Biết phương trình \({{a}^{x}}{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S={{\left( \frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\).
Giả sử S = (a;b) là tập nghiệm của bất phương trình \({4^x} - {3.2^{x + 1}} + 8 < 0\). Giá trị biểu thức P = a + 2b.
Xét \(\int\limits_{0}^{1}{(x-1).{{e}^{{{x}^{2}}-2x+3}}dx}\), nếu đặt \(u={{x}^{2}}-2x+3\) thì \(\int\limits_{0}^{1}{(x-1).{{e}^{{{x}^{2}}-2x+3}}dx}\) bằng:
Cho hai số phức \({z_1} = 2 - 4i\) và \({z_2} = 1 - 3i.\) Phần ảo của số phức \({z_1} + i\overline {{z_2}} \) bằng
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=-{{x}^{2}}-x+1,\,\,y=2, x=-1, x=1\) được tính bởi công thức nào dưới đây?
Cho tam giác ABC vuông tại A, trong đó AB=a, BC=2a. Quay tam giác ABC quanh trục AB ta được một hình nón có thể tích là
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\)
Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông)?
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( -4;\,3;\,1 \right)\) trên mặt phẳng \(\left( Oyz \right)\) có tọa độ là
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 2 và độ dài chiều cao bằng 3.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AC=4a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của AB. Tính AB biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng \(\frac{2a}{3}\).
.png)
Khi cắt khối trụ \(\left( T \right)\) bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục của trụ \(\left( T \right)\) một khoảng bằng \(a\sqrt{3}\) ta được thiết diện là hình vuông có diện tích bằng \(4{{a}^{2}}\). Tính thể tích V của khối trụ \(\left( T \right)\).
