Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số f(x), có \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) và \(f'\left( x \right) = \sin x.{\cos ^2}2x,\forall x \in R\). Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)} dx\) bằng
A. \( - \frac{{121}}{{225}}\)
B. \(\frac{2}{{232}}\)
C. \( - \frac{{232}}{{345}}\)
D. \(\frac{{92}}{{232}}\)
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
Ta có \(I = \int {f'\left( x \right)} dx = \int {\sin x.{{\cos }^2}2xdx = \int {\sin x{{\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)}^2}dx} } \)
Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx\)
Suy ra \(I = - \int {{{\left( {2{t^2} - 1} \right)}^2}dt = - \int {\left( {4{t^4} - 4{t^2} + 1} \right)dt = - \frac{4}{5}{t^5} + \frac{4}{3}{t^3} - t + c} } \)
Hay \(I = - \frac{4}{5}{\cos ^5}x + \frac{4}{3}{\cos ^3}x - \cos x + C \Rightarrow f\left( x \right) = - \frac{4}{5}{\cos ^5}x + \frac{4}{3}{\cos ^3}x - \cos x + C\)
Mà \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0 \Rightarrow C = 0\). Vậy \(f\left( x \right) = - \frac{4}{5}{\cos ^5}x + \frac{4}{3}{\cos ^3}x - \cos x\)
Tích phân \(J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( { - \frac{4}{5}{{\cos }^5}x + \frac{4}{3}{{\cos }^3}x - \cos x} \right)} dx\)
\(= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x\left( { - \frac{4}{5}{{\cos }^4}x + \frac{4}{3}{{\cos }^2}x - 1} \right)} dx\)
\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x\left( { - \frac{4}{5}{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}^2} + \frac{4}{3}\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 1} \right)} dx\)
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 0;\,\,x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\)
Khi đó \(J = \int\limits_0^1 {\left[ { - \frac{4}{5}{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2} + \frac{4}{3}\left( {1 - {t^2}} \right) - 1} \right]dt} = - \frac{{121}}{{225}}\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Xét tích phân \(\int\limits_1^e {\frac{1}{x}\ln xdx} \). Nếu đặt \(lnx = t\) thì \(\int\limits_1^e {\frac{1}{x}\ln xdx} \) bằng
Cho số phức \(\overline z = (1 - i)(1 + 2i)\). Giả sử điểm M là điểm biểu diễn số phức z. Điểm M thuộc đường thẳng nào?
Trong không gian Oxyz cho điểm A( - 2;0;1); B(0;2;3) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + z - 1 = 0.\) Đường thẳng d qua trung điểm I của AB và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là
Thể tích của một khối lập phương cạnh \(\dfrac12\) bằng:
Cho hình nón (N) có đường kính đáy bằng 4a, đường sinh bằng 5a. Tính diện tích xung quanh của hình nón (N).
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc giữa BB' và mặt phẳng (ABC) bằng 30o; Hình chiếu vuông góc của B' lên mp (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'B'C').
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SC = a\sqrt 3 \) (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) bằng
.png)
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}x < 3\) là:
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là sai?
.png)
\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + t\\
y = - 1 - t\\
z = 1
\end{array} \right.\)
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 4{x^2} + x,y = - 1,x = 0\) và x = 1 được tính bởi công thức nào sau đây?
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 4z - 3 = 0\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {\frac{{{x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 2 - m}}{{x - 1}}} \right|\), trong đó m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m thỏa mãn \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2\,;\,3} \right]} f\left( x \right) + 2\mathop {max}\limits_{\left[ {2\,;\,3} \right]} f\left( x \right) = \frac{1}{2}\). Số phần tử của tập S là
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 7\) và trục hoành là:
