Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right)} \,{\rm{d}}x = 4\) và \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} = 2\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f(x){\rm{d}}x} \)
A. 6
B. 2
C. 3
D. 1
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
Ta có \({I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right)} \,{\rm{d}}x = 4\).
Đặt \(t = \tan x \Rightarrow {\rm{d}}t = \frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow {\rm{d}}t = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right){\rm{d}}x = \left( {1 + {t^2}} \right){\rm{d}}x \Rightarrow \frac{{{\rm{d}}t}}{{1 + {t^2}}} = {\rm{d}}x\).
\( \Rightarrow {\rm{d}}t = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right){\rm{d}}x = \left( {1 + {t^2}} \right){\rm{d}}x \Rightarrow \frac{{{\rm{d}}t}}{{1 + {t^2}}} = {\rm{d}}x\).
\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{f(t)}}{{{t^2} + 1}}{\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {\frac{{f(x)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} = 4\).
\({I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}\,} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {f(x)} \,{\rm{d}}x - \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} \,{\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x - 4 = 2 \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 6\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Giá trị cực tiểu của hàm số bằng
Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên dưới. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc [1;2020] để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^4} - 2{x^2} + m} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của S là?
.png)
Cho khối trụ có độ dài đường sinh \(l = a\sqrt 3 \) và bán kính đáy \(r = a\sqrt 2 \). Thể tích của khối trụ đã cho bằng
Cho hai số thực a, b thỏa mãn \(\frac{1}{3} < b < a < 1\) và biểu thức \(P = {\log _a}\left( {\frac{{3b - 1}}{{4{a^3}}}} \right) + 12\log _{\frac{b}{a}}^2a\) có giá trị nhỏ nhất. Tính \(\frac{b}{a}\).
Cho hàm số \(y = m{x^3} + 3m{x^2} + 3x + 1\). Tìm tập hợp tất cả các số thực m để hàm số đồng biến trên R.
Cho hình chóp có S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SA biết \(AD = a\sqrt 3 ,AB = a\). Khi đó khoảng cách từ C đến (MBD) là:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có \(f'\left( x \right) = \left( {2x - 3} \right){\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^3}\left( {4 - x} \right)\). Số điểm cực đại của hàm số y = f(x) là
Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt \(P = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = -i là điểm nào dưới đây?
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x - 4z + 2 = 0. Véc tơ nào dưới đây là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;-1;-3) và mặt phẳng (P): 3x - 2y + 4z - 5 = 0. Mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 8y - 2z - 4 = 0\). Tâm và bán kính của mặt cầu (S) lần lượt là
Xét \(\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}\sqrt {{{\left( {2 + {x^3}} \right)}^5}} dx} \), nếu đặt \(u = 2 + {x^3}\) thì \(\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}\sqrt {{{\left( {2 + {x^3}} \right)}^5}} dx} \) bằng
Diện tích xung quanh của một hình nón có độ dài đường sinh l(m), bán kính đáy \(\frac{3}{\pi }\,(m)\) là:
