\(f(x)=\left|\frac{x^{2}+(m-2) x+2-m}{x-1}\right|=\left|\frac{x^{2}-2 x+2}{x-1}+m\right|\)

Xét hàm số \(g(x)=\frac{x^{2}-2 x+2}{x-1} \text { trên đoạn }[2 ; 3]\) ta có:

\(g^{\prime}(x)=\frac{x^{2}-2 x}{(x-1)^{2}} \geq 0, \forall x \in[2 ; 3]\left(g^{\prime}(x)=0 \text { tại } x=2\right).\)

\(\Rightarrow \)Suy ra, tập giá trị của g(x) trên [2;3] là đoạn \([g(2) ; g(3)]=\left[2 ; \frac{5}{2}\right]\).

\(\text { Đặt } t=\frac{x^{2}-2 x+2}{x-1}\), hàm số f(x) trên [2;3] trở thành hàm số \(h(t)=\mid t+m|\) xét trên \(\left[2 ; \frac{5}{2}\right]\). Khi đó:

\(\begin{array}{l} \min\limits _{[2 ; 3]} f(x)=\min\limits _{[2 ; \frac{5}{2}]} h(t) \\ \max\limits _{[2 ; 3]} f(x)=\max\limits _{\left[2 ; \frac{5}{2}\right]} h(t)=\max \left\{|m+2| ;\left|m+\frac{5}{2}\right|\right\}=\frac{\left|(m+2)+\left(m+\frac{5}{2}\right)\right|+\left|(m+2)-\left(m+\frac{5}{2}\right)\right|}{2}=\left|m+\frac{9}{4}\right|+\frac{1}{4} (* )\\ \text { Xét }(m+2)\left(m+\frac{5}{2}\right) \leq 0 \Leftrightarrow m \in\left[-\frac{5}{2} ;-2\right](1) \end{array}\)

\(\text { Khi đó, } \min\limits _{[2 ; 3]} f(x)=0\)

\(\begin{aligned} &\Rightarrow \min _{[2 ; 3]} f(x)+2 \max _{[2 ; 3]} f(x)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow\left|2 m+\frac{9}{2}\right|+\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow m=-\frac{9}{4}(\operatorname{thoa} \operatorname{man}(1))\\ &\text { xét }(m+2)\left(m+\frac{5}{2}\right)>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m<-\frac{5}{2} \\ m>-2 \end{array}(2) .\text { Khi dó }\right. \end{aligned}\)

\(\begin{array}{l} \min\limits _{[2 ; 3]} f(x)=\min\limits _{\left[1, \frac{5}{2}\right]} h(t)=\min \left\{|m+2| ; m+\frac{5}{2} \mid\right\}=\frac{\left|(m+2)+\left(m+\frac{5}{2}\right)\right|-\left|(m+2)-\left(m+\frac{5}{2}\right)\right|}{2}=\left|m+\frac{9}{4}\right|-\frac{1}{4} \\ \Rightarrow \min\limits _{[2 ; 3]} f(x)+2 \max\limits _{[2 ; 3]} f(x)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow\left|m+\frac{9}{4}\right|-\frac{1}{4}+2\left|m+\frac{9}{4}\right|+\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow\left|m+\frac{9}{4}\right|=\frac{1}{12} \end{array}\)

\(\Leftrightarrow\left|m+\frac{9}{4}\right|=\frac{1}{12} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m=-\frac{13}{6} \\ m=-\frac{7}{3} \end{array}(L) . \text { Vậy } S=\left\{-\frac{9}{4}\right\}\right.\)

Suy ra só phần từ của S bằng 1.