Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số thực, \(a\ne 0\) có đồ thị như hình bên.
.PNG)
Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng \((-2019;2019)\) để hàm số \(g(x)=f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( 2;+\infty \right)\)?
A. 2012
B. 2013
C. 4028
D. 4026
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
Ta có \({g}'(x)=(3{{x}^{2}}-6x){f}'({{x}^{3}}-3x+m)\).
Với mọi \(x\in (2;+\infty )\) ta có \(3{{x}^{2}}-6x>0\) nên hàm số \(g(x)=f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( 2;+\infty \right) \Leftrightarrow {f}'({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m)\le 0,\forall x\in (2;+\infty )\).
Dựa vào đồ thị ta có hàm số y=f(x) nghịch biến trên các khoảng \((-\infty ;1)\) và \((3;+\infty )\) nên \({f}'(x)\le 0\) với \(x\in \left( -\infty ;1 \right]\cup \left[ 3;+\infty \right)\).
Do đó \(f'({x^3} - 3{x^2} + m) \le 0,\forall x \in (2; + \infty )\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^3} - 3{x^2} + m \le 1,\forall x \in (2; + \infty )\\ {x^3} - 3{x^2} + m \ge 3,\forall x \in (2; + \infty ) \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \le - {x^3} + 3{x^2} + 1,\forall x \in (2; + \infty )\\ m \ge - {x^3} + 3{x^2} + 3,\forall x \in (2; + \infty ) \end{array} \right.\)
Nhận thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - {x^3} + 3{x^2} + 1) = - \infty \) nên trường hợp \(m \le - {x^3} + 3{x^2} + 1,\forall x \in (2; + \infty )\) không xảy
ra.
Trường hợp: \(m \ge - {x^3} + 3{x^2} + 3,\forall x \in (2; + \infty )\). Ta có hàm số \(h(x) = - {x^3} + 3{x^2} + 3\) liên tục trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\) và \(h'(x) = - 3{x^2} + 6x < 0,\forall x \in (2; + \infty )\) nên h(x) nghịch biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\) suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} h(x) = h(2)\).
Do đó \(m \ge - {x^3} + 3{x^2} + 3,\forall x \in (2; + \infty )\)
\( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} h(x) = h(2)\)
\( \Leftrightarrow m \ge 7\)
Do m nguyên thuộc khoảng ( - 2019;2019) nên \(m \in \left\{ {7;8;9;...;2018} \right\}\).
Vậy có 2012 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Với a là số thực dương tùy ý, \({\log _8}\left( {{a^3}} \right)\) bằng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Một vectơ chỉ phương của d là
Cho cấp số nhân (un) với \({u_1} = 2\) và \({u_4} = 16\). Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh a. Tính diện tích toàn phần của vật thể tròn xoay thu được khi quay tam giác \(A{A}'{C}'\) quanh trục \(A{A}'\).
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua hai điểm \(A\left( 2;1;-3 \right)\), \(B\left( 3;2;-1 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):x+2y+3z-4=0\) là
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Số nghiệm thực của phương trình \(3f\left( x \right) - 16 = 0\) là
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = - 1 - 2i là điểm nào dưới đây ?
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 8y - 2z + 12 = 0.\) Tâm của (S) có tọa độ là
Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {{O}'} \right)\). Trên hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {{O}'} \right)\) lần lượt lấy hai điểm A, B sao cho góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng chứa đường tròn đáy bằng \({{45}^{\mathrm{o}}}\), khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục OO' bằng \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Biết bán kính đáy bằng a, tính thể tích của khối trụ theo a.
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\left( {2x - 1} \right)^{\frac{1}{3}}}\)
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + 3y + 2 = 0.\) Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)?\)
Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều có chiều cao h và cạnh đáy bằng 2a là
Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = ln4, biết khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ \(x{\rm{ }}\,\left( {0 \le x \le \ln 4} \right)\) ta được thiết diện là hình vuông có cạnh \(\sqrt {x{e^x}} \)
Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đẳng thức \({\log _3}({\log _2}({e^{2x - y - 1}} - 2x + y + 2)) = {\log _2}({\log _3}( - {x^2} - 4{y^2} + 4xy - 2x + 4y + 2))\)
