Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2};2 \right]\) và thoả mãn \(f\left( x \right)+2f\left( \frac{1}{x} \right)=3x;\forall x\in {{\mathbb{R}}^{*}}.\) Tính tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx}.\)
A. \(I = 4\ln 2 + \frac{{15}}{8}\)
B. \(I = 4\ln 2 - \frac{{15}}{8}\)
C. \(I = \frac{5}{2}\)
D. \(I = \frac{3}{2}\)
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
Ta có:
\(f\left( x \right)+2f\left( \frac{1}{x} \right)=3x\), chia cả 2 vế cho x ta được \(\frac{f\left( x \right)}{x}+2\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x}=3\)
Lấy tích phân 2 vế
\(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\left[ \frac{f\left( x \right)}{x}+2\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x} \right]dx}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{3dx}\)
\(\Leftrightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx+2\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x}dx}=3x\left| \begin{align} & 2 \\ & \frac{1}{2} \\ \end{align} \right.=\frac{9}{2}}\)
Xét \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x}dx}\): Đặt \(\frac{1}{x}=t\Rightarrow -\frac{1}{{{x}^{2}}}dx=dt\Rightarrow dx=-\frac{dt}{{{t}^{2}}}.\)
Đổi cận \(\left\{ \begin{align} & x=\frac{1}{2}\Rightarrow t=2 \\ & x=2\Rightarrow t=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right..\)
Khi đó \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x}dx}=-\int\limits_{2}^{\frac{1}{2}}{\frac{t.f\left( t \right)}{{{t}^{2}}}dt}\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x}dx}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( t \right)}{t}dt=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx.}}\)
Thay vào tích phân ban đầu ta được
\(3\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx}=\frac{9}{2}\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx}=\frac{3}{2}.\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Số phức nào sau đây là số đối của số phức z, biết z có phần thực dương thoả mãn \(\left| z \right|=2\) và biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng \(y-\sqrt{3}x=0.\)
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right){{\left( x+1 \right)}^{6}}{{\left( x-2 \right)}^{5}}.\) Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Cho hàm số \(y=\sqrt{x+\frac{1}{x}}\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \((0;\,+\infty )\) bằng
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a. Mặt bên SBC là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABC là
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{2}\) và đường thẳng \(d:\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{2}.\) Góc giữa d và \(\Delta \) bằng
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên
.PNG)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Nếu \({{\log }_{8}}a+{{\log }_{4}}{{b}^{2}}=5\) và \({{\log }_{4}}{{a}^{2}}+{{\log }_{8}}b=7\) thì giá trị của ab là
Tìm hệ số của đơn thức \({{a}^{3}}{{b}^{2}}\) trong khai triển nhị thức \({{\left( a+2b \right)}^{5}}.\)
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2\left( {{m}^{2}}+m+2 \right)x+\left( {{m}^{2}}-1 \right)y+\left( m+2 \right)z+{{m}^{2}}+m+1=0\) luôn chứa đường thẳng \(\Delta \) cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc toạ độ đến \(\Delta \) là
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm \(A\left( 1;-2;1 \right)\) và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 1 = 0. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng
Cho hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
.PNG)
Tìm các số \(x,y\in \mathbb{R}\) thoả mãn \(\left( 1+2y \right)i=\left( 2i-1 \right)x+1+i.\)
Đồ thị hàm số nào dưới đây nhận đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng?
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{3}^{x}}+{{x}^{2}}\) là
Giả sử khi tính tích phân \(K=\int\limits_{1}^{2}{\frac{x-1}{{{x}^{2}}}{{e}^{x}}dx}\) ta được kết quả là \(\frac{a}{b}.{{e}^{2}}+c.e\) với \(a,b,c\in \mathbb{Z}\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khi đó tổng S = a + b + c bằng
