Câu hỏi Đáp án 2 năm trước 34

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác với \(AB=2cm,AC=3cm,\angle BAC={{60}^{0}}\), \(SA\bot \left( ABC \right)\). Gọi \({{B}_{1}},{{C}_{1}}\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Tính thể tích khối cầu đi qua năm điểm A,B,C,\({{B}_{1}},{{C}_{1}}\)

A. \(\frac{{28\sqrt {21} \pi }}{{27}}c{m^3}\)

Đáp án chính xác ✅

B. \(\frac{{76\sqrt {57} \pi }}{{27}}c{m^3}\)

C. \(\frac{{7\sqrt 7 \pi }}{6}c{m^3}\)

D. \(\frac{{27\pi }}{6}c{m^3}\)

Lời giải của giáo viên

verified HocOn247.com

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đường kính AD.

Ta chứng minh O là tâm mặt câu đi qua 6 điểm \(A,B,C,{{B}_{1}},{{C}_{1}}\) và D:

Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} CD\bot AC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ CD\bot SA(do\,\,\,SA\bot \left( ABC \right)) \\ \end{matrix}\Rightarrow CD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow CD\bot A{{C}_{1}} \right.\)

Do \(\left\{ \begin{matrix} A{{C}_{1}}\bot SC \\ A{{C}_{1}}\bot CD \\ \end{matrix}\Rightarrow A{{C}_{1}}\bot \right.\left( SCD \right)\Rightarrow A{{C}_{1}}\bot {{C}_{1}}D\)

\(\Rightarrow {{C}_{1}}\) thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD

Tương tự, B1 thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD

Hiển nhiên, A, B, D, C thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD

⇒ O là tâm mặt cầu đi qua 6 điểm \(A,B,C,{{B}_{1}},{{C}_{1}},D\)

⇒ O là tâm mặt cầu đi qua 5 điểm \(A,B,C,{{B}_{1}},{{C}_{1}}\)

Tính bán kính R của mặt cầu đi qua 5 điểm \(A,B,C,{{B}_{1}},{{C}_{1}}\).

Xét tam giác ABC: \(BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.cos\angle A}=\sqrt{4+9-2.2.3cos{{60}^{0}}}=\sqrt{7}\left( cm \right)\)

\({{S}_{ABC}}=\frac{AB.AC.BC}{4R}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \angle A=>\frac{2.3\sqrt{7}}{4R}=\frac{1}{2}.2.3.\sin {{60}^{0}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{3\sqrt{7}}{2R}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow R=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\left( cm \right)\)

Thể tích khối cầu: \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( \sqrt{\frac{7}{3}} \right)}^{3}}=\frac{28\sqrt{7}\pi }{9\sqrt{3}}=\frac{28\sqrt{21}\pi }{27}\left( c{{m}^{3}} \right)\)

CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1: Trắc nghiệm

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình tròn S.ABCD là điểm I với

Xem lời giải » 2 năm trước 46
Câu 2: Trắc nghiệm

Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{1 - \ln x}}\)

Xem lời giải » 2 năm trước 43
Câu 3: Trắc nghiệm

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2018;2019] để hàm số \(y=m{{x}^{4}}+\left( m+1 \right){{x}^{2}}+1\) có đúng một điểm cực đại?

Xem lời giải » 2 năm trước 41
Câu 4: Trắc nghiệm

Giả sử \(m=-\frac{a}{b},a,b\in {{\mathbb{Z}}^{+}},\left( a,b \right)=1\) là giá trị thực của tham số m để đường thẳng d:y=-3x+m cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng \(\Delta :x-2y-2=0\) với O là gốc tọa độ. Tính a+2b.

Xem lời giải » 2 năm trước 41
Câu 5: Trắc nghiệm

Mặt cầu có bán kính a thì có diện tích xung quang bằng

Xem lời giải » 2 năm trước 41
Câu 6: Trắc nghiệm

Hàm số \(f\left( x \right)={{2}^{2x}}\) có đạo hàm

Xem lời giải » 2 năm trước 41
Câu 7: Trắc nghiệm

Hàm số \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-3{{x}^{2}}+5x-2\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem lời giải » 2 năm trước 40
Câu 8: Trắc nghiệm

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem lời giải » 2 năm trước 40
Câu 9: Trắc nghiệm

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó?

Xem lời giải » 2 năm trước 40
Câu 10: Trắc nghiệm

Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{x-{{m}^{2}}}{x+8}\) với m là tham số thực. Giả sử \({{m}_{0}}\) là giá trị dương của tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3] bằng -3. Giá trị \({{m}_{0}}\) thuộc khoảng nào trong các khoảng cho dưới đây?

Xem lời giải » 2 năm trước 40
Câu 11: Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem lời giải » 2 năm trước 40
Câu 12: Trắc nghiệm

Cho số dương a và \(m,n\in \mathbb{R}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem lời giải » 2 năm trước 40
Câu 13: Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho phương trình \(f\left( x \right)=m\) có đúng hai nghiệm.

Xem lời giải » 2 năm trước 39
Câu 14: Trắc nghiệm

Cho khối chóp tứ giác đều  S.ABCD có thể tích bằng \({{a}^{3}}\) và đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tính \(cos\alpha \) với \(\alpha \) là góc giữa mặt bên và mặt đáy

Xem lời giải » 2 năm trước 39
Câu 15: Trắc nghiệm

Tính giá trị biểu thức \(P=\frac{{{\left( 4+2\sqrt{3} \right)}^{2018}}.{{\left( 1-\sqrt{3} \right)}^{2017}}}{{{\left( 1+\sqrt{3} \right)}^{2018}}}\) 

Xem lời giải » 2 năm trước 38

📝 Đề thi liên quan

Xem thêm »
Xem thêm »

❓ Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »