Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A. \) Hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(\left( ABC \right).\) Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng \(\frac{\sqrt{17}}{6}a,\) cạnh bên \(AA'\) bằng \(2a.\) Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) biết \(AB<a\sqrt{3}.\)
A. \(\frac{\sqrt{34}}{6}{{a}^{3}}.\)
B. \(\frac{\sqrt{102}}{18}{{a}^{3}}.\)
C. \(\frac{\sqrt{102}}{6}{{a}^{3}}.\)
D. \(\frac{\sqrt{34}}{18}{{a}^{3}}.\)
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
.png)
Gọi N là trung điểm của \(BC,G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)
Hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(\left( ABC \right)\) nên \(A'G\bot \left( ABC \right)\)
Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(AN\bot BC\left( 1 \right)\)
Lại có \(A'G\bot BC\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(BC\bot \left( A'AN \right)\)
Trong mặt phẳng \(\left( A'AN \right)\) từ \(N\) kẻ \(NH\bot A'A\) suy ra \(NH\) là đường vuông góc chung của \(AA'\) và \(BC\) do đó \(d\left( A'A;BC \right)=NH=\frac{\sqrt{17}}{6}a\)
Đặt \(AB=2x\)
Vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(BC=2x\sqrt{2};AN=\frac{1}{2}BC=x\sqrt{2}\)
G là trọng tâm tam giác \(ABC\Rightarrow AG=\frac{2}{3}AN=\frac{2x\sqrt{2}}{3}\)
Trong tam giác vuông \(A'AG\) có \(A'{{G}^{2}}=A'{{A}^{2}}-A{{G}^{2}}=4{{a}^{2}}-\frac{8{{x}^{2}}}{9}\)
Trong mặt phẳng \(\left( A'AN \right)\) kẻ \(GK//NH\Rightarrow GK=\frac{2}{3}NH=\frac{a\sqrt{17}}{9}\)
Trong tam giác vuông \(A'AG\) có
\(\frac{1}{G{{K}^{2}}}=\frac{1}{A'{{G}^{2}}}+\frac{1}{A{{G}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{81}{17{{a}^{2}}}=\frac{1}{4{{a}^{2}}-\frac{8{{x}^{2}}}{9}}+\frac{1}{\frac{8{{x}^{2}}}{9}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{81}{17{{a}^{2}}}=\frac{4{{a}^{2}}}{\left( 4{{a}^{2}}-\frac{8{{x}^{2}}}{9} \right).\frac{8{{x}^{2}}}{9}}\)
\(\Leftrightarrow 64{{x}^{4}}-288{{a}^{2}}{{x}^{2}}+68{{a}^{4}}=0\)
Cách để tính AB
Ta có \(NH.AA'=A'G.AN\) (vì cùng bằng 2 lần diện tích tam giác \(A'NA)\)
\(\Leftrightarrow \frac{a\sqrt{17}}{6}.2a=\sqrt{4{{a}^{2}}-\frac{8{{x}^{2}}}{9}}.x\sqrt{2}\)
\( \Leftrightarrow 16{x^4} - 72{a^2}{x^2} + 17{a^4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = \frac{{17}}{4}{a^2} \Rightarrow x = \frac{{\sqrt {17} }}{2}a \Rightarrow AB = a\sqrt {17} \\ {x^2} = \frac{1}{4}{a^2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}a \Rightarrow AB = a \end{array} \right.\)
\(A'{{G}^{2}}=A'{{A}^{2}}-A{{G}^{2}}=4{{a}^{2}}-\frac{8{{x}^{2}}}{9}=\frac{34{{a}^{2}}}{9}\Rightarrow A'G=\frac{a\sqrt{34}}{3}\)
Thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là
\(V=A'G.{{S}_{ABC}}=\frac{a\sqrt{34}}{3}.\frac{1}{2}.a.a=\frac{\sqrt{34}{{a}^{3}}}{6}.\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số \(y=\frac{5x+9}{x-1}\) khẳng định nào sau đây là đúng?
Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 3 cán sự lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cứ 4 bạn đi dự đại hội đoàn trường sao cho trong 4 học sinh đó có ít nhất một cán sự lớp
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) cạnh bên tạo với đáy một góc \({{60}^{0}}.\) Gọi G là trọng tâm của tam giác \(SBD. \) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A,G\) và song song với \(BD,\) cắt \(SB,SC,SD\) lần lượt tại \(E,M,F.\) Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.AEMF.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right),\) hàm số \(y=f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên
.jpg.png)
Bất phương trình \(f\left( x \right)<2x+m\) (\(m\) là tham số thực) có nghiệm đúng với mọi \(x\in \left( 0;2 \right)\) khi và chỉ khi
Cho hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) có đồ thị như hình vẽ
.jpg.png)
Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {{\sin }^{2}}x \right)=m\) có nghiệm
.jpg.png)
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông và \(AB=BC=a,AA'=a\sqrt{2},M\) là trung điểm \(BC. \) Tính khoảng cách \(d\) của hai đường thẳng \(AM\) và \(B'C. \)
Cho hình tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc \(AB=6a,AC=8a,AD=12a,\) với \(a>0,a\in \mathbb{R}.\) Gọi \(E,F\) tương ứng là trung điểm của hai cạnh \(BC,BD. \) Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( AEF \right)\) theo \(a.\)
Trong khai triển \({{(a+b)}^{n}}\), số hạng tổng quát của khai triển là.
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều cạnh \(a\) bằng
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây
.png)
Số nghiệm thực của phương trình \(3f\left( x \right)+2=0\) là
Đồ thị hàm số \(\left( C \right):y=\frac{2x+1}{x+1}\) cắt đường thẳng \(d:y=x+m\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) thỏa mãn \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) khi \(m=\frac{a}{b}.\) Biết \(a,b\) là nguyên dương; \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(S=a+b.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{n}}=4n-3.\) Tìm công sai \(d\) của cấp số cộng.
Rút gọn biểu thức \(P={{x}^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\) với \(x>0\) ta được
