Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( {{x^2} + 1} \right)x\,dx = 2.} \) Khi đó \(I = \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} \) bằng

Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Biết mặt phẳng (AEF) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Biết thể tích khối chóp S.MNPQ là V, khi đó thể tích của khối chóp S.ABCD là

Xét hàm số f(x)liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(2f\left( x \right) + 3f\left( {1 - x} \right) = \sqrt {1 - {x^2}} .\) Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx.} \)

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - \sqrt 2 } \right){x^2}{\left( {x + 2} \right)^3},\forall x \in R.\) Số điểm cực tri của hàm số là:  

Giải phương trình \(2{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin 2x = 3.\) 

Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O  trên mặt phẳng (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Rút gọn biểu thức \(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\) với x > 0

Cho hàm số \(y = {\left( {\frac{3}{\pi }} \right)^{{x^2} + 2x + 3}}.\) Tìm khẳng định đúng.

Cho tham số thực a. Biết phương trình \({e^x} - {e^{ - x}} = 2\cos ax\) có 5 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình \({e^x} - {e^{ - x}} = 2\cos ax + 4\) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Biết đồ thị (C) ở hình bên là đồ thị hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right).\) Gọi (C’) là đường đối xứng với (C) qua đường thẳng

Hỏi (C’) là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 

Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a, đáy là hình chữ nhật ABCD có \(AB = 2a,\,AD = a.\) Gọi K là điểm thuộc BC sao cho \(3\overrightarrow {BK} + 2\overrightarrow {CK} = \overrightarrow 0 \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SK.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( {1;2;3} \right).\) Gọi (P) là mặt phẳng  đi qua điểm Mvà cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất, mặt phẳng (P) cắt  các trục tọa độ tại các điểm A,B,C. Tính thể tích khối chóp O.ABC.

Cho \(a,b > 0;\,\,a,b \ne 1\) và x, y là hai số thực dương. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

Tìm nguyên hàm \(I = \int {x\cos xdx.} \)