Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}z = \left( {2x + 1} \right) + \left( {3y - 2} \right)i\\z' = \left( {x + 2} \right) + \left( {y + 4} \right)i\end{array} \right.\)

Để \(z = z'\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 = x + 2\\3y - 2 = y + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right..\)

Ta có \(\int {ydx}  = \int {x{e^x}dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {ydx}  = x{e^x} - \int {{e^x}dx} \\ = x{e^x} - {e^x} + C = \left( {x - 1} \right){e^x} + C.\end{array}\)

Gọi \(I\)  là trung điểm của \(AB\) ta có \(I\left( {\frac{1}{2}; - 1; - \frac{1}{2}} \right).\)

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(AB\). Khi đó \(\left( P \right)\) đi qua trung điểm \(I\left( {\frac{1}{2}; - 1; - \frac{1}{2}} \right)\) của \(AB\) và có 1 vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {BA}  = \left( {3;4;9} \right).\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\(3\left( {x - \frac{1}{2}} \right) + 4\left( {y + 1} \right) + 9\left( {z + \frac{1}{2}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + 4y + 9z + 7 = 0\)

Ta có \(z = {\left( {\sqrt 3  - 2i} \right)^2} =  - 1 - 4\sqrt 3 i\).

Vậy số phức liên hợp của số phức \(z\) là: \(\overline z  =  - 1 + 4\sqrt 3 i.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\int\limits_0^\pi  {\left( {2\cos x - \sin 2x} \right)dx} \\ = \left. {\left( {2\sin x + \frac{1}{2}\cos 2x} \right)} \right|_0^\pi \\ = 2\sin \pi  + \frac{1}{2}\cos 2\pi  - 2\sin 0 - \frac{1}{2}\cos 0\\ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\end{array}\)

Ta có \(z = 1 + i\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {1;1} \right)\)

\(z' =  - 1 + i\) có điểm biểu diễn là \(M'\left( { - 1;1} \right)\)

Hai điểm \(M\) và \(M'\) đối xứng nhau qua trục \(Oy\).

Ta có \(\overrightarrow a  = \left( {3; - 1; - 2} \right);\overrightarrow b  = \left( {1;2;m} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = \left( { - m + 4; - 2 - 3m;7} \right)\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow c  = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\\ \Rightarrow \left( { - m + 4; - 2 - 3m;7} \right) = \left( {5;1;7} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 4 = 5\\ - 2 - 3m = 1\\7 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 1\end{array}\)

Ta có \(\int\limits_0^3 {\left( {x - 3} \right)f'\left( x \right)dx = 12} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 3\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}12 = \left. {\left( {x - 3} \right)f\left( x \right)} \right|_0^3 - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow 12 =  - 3f\left( 0 \right) - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow 12 =  - 3.3 - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  =  - 21.\end{array}\)

Ta có \({\rm{w}} = {z_1}.{z_2} = \left( {2 + 6i} \right)\left( {5 - 8i} \right)\)

\(= 58 + 14i\)

\( \Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{{58}^2} + {{14}^2}}  = 2\sqrt {890} .\)

Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( {{x^2}} \right)xdx}  = 3\)

Đặt \({x^2} = t\)\( \Rightarrow 2xdx = dt \Leftrightarrow xdx = \frac{1}{2}dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 3 \Rightarrow y = 9\end{array} \right.\).

Khi đó \(3 = \frac{1}{2}\int\limits_0^9 {f\left( t \right).dt} \)\( \Rightarrow 6 = \int\limits_0^9 {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx} \)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow I\left( {3; - 1;5} \right)\) là tâm mặt cầu đường kính \(AB\).

Bán kính mặt cầu đường kính \(AB\)  là:

\(R = IA\)\( = \sqrt {{{\left( {4 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 1} \right)}^2} + {{\left( {7 - 5} \right)}^2}}  = 3.\)

Vậy phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 9.\)

\(M = {i^{2018}} + {i^{2019}} = {i^{2018}}\left( {1 + i} \right)\)\( = {\left( {{i^2}} \right)^{1006}}\left( {1 + i} \right) = 1 + i\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \sin x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\cos xdx} \\ = x\sin x - \int {\sin xdx} \\ = x\sin x + \cos x + C\end{array}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(x\sqrt[3]{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1;9} \right]\\x = 1\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = x\sqrt[3]{{1 - x}};\) \(y = 0;\) \(x = 1;\) \(x = 9\) là: \(S = \int\limits_1^9 {\left| {x\sqrt[3]{{1 - x}}} \right|dx}  = \left| {\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx} } \right|\)

Đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - x}} \Leftrightarrow {t^3} = 1 - x\)\( \Leftrightarrow 3{t^2}dt =  - dx.\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = 9 \Rightarrow t =  - 2\end{array} \right.\).

Khi đó

\(\begin{array}{l}S = \left| { - 3\int\limits_0^{ - 2} {\left( {1 - {t^3}} \right).t.{t^2}dt} } \right|\\ = \left| {3\int\limits_0^{ - 2} {\left( {{t^6} - {t^3}} \right)dt} } \right|\\ = \left| {\left. {3\left( {\frac{{{t^7}}}{7} - \frac{{{t^4}}}{4}} \right)} \right|_0^{ - 2}} \right|\\ = \left| {3\left( { - \frac{{156}}{7}} \right)} \right| = \frac{{468}}{7}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx}  = \int\limits_1^2 {\left( {x + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^2\\ = 2 + \ln 3 - \frac{1}{2} - \ln 2\\ = \frac{3}{2} + \ln \frac{3}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow a = b = \frac{3}{2}\)\( \Rightarrow a + b = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3.\)

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu cân tìm, khi đó ta có \(IO = IA = IB = IC\).

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}IO = IA\\IO = IB\\IO = IC\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 4} \right)^2} + {b^2} + {c^2}\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} + {c^2}\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 =  - 8a + 16\\0 =  - 8b + 16\\0 =  - 8c + 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là: \(R = IO = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} \)\( = 2\sqrt 3 \)

Ta có

\(\begin{array}{l}I = \int {\frac{{4x - 3}}{{2{x^2} - 3x - 2}}dx} \\ = \int {\frac{{2\left( {x - 2} \right) + 2x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}}dx} \\\,\,\, = \int {\left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{2}{{2x + 1}}} \right)dx} \\ = \ln \left| {x - 2} \right| + \ln \left| {2x + 1} \right| + C\end{array}\)

Mà \(a = 2;\,\,b = 1;\,\,c = 2.\)

Vậy \(a + b - c = 2 + 1 - 2 = 1.\)

Gọi \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 2} \right){e^x}dx} .\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 2\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}I = \left. {\left( {2x + 2} \right){e^x}} \right|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {{e^x}dx} \\\,\,\,\, = 4e - 2 - \left. {2{e^x}} \right|_0^1\\\,\,\,\, = 4e - 2 - \left( {2e - 2} \right) = 2e.\end{array}\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \(I\left( {3;2; - 1} \right).\)

Mà \(M\left( {3;6; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM}  = \left( {0;4; - 1} \right).\)

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(M\) là mặt phẳng có 1 vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {IM} \) và đi qua điểm \(M\) có phương trình:  \(4\left( {y - 6} \right) - \left( {z + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4y - z - 26 = 0.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - 2x = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right..\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho là: \(S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^3 {\left( {3x - {x^2}} \right)dx}  = \frac{9}{2}\)

Ta có \(A\left( {1; - 2;3} \right);B\left( {3;0;0} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {2;2; - 3} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2;3} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB}  = \left( {2;2; - 3} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 + 2t\\z = 3 - 3t\end{array} \right.\)

Gọi \(I = \int\limits_0^1 {\ln \left( {2x + 1} \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {2x + 1} \right)\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{2}{{2x + 1}}dx\\v = x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {x\ln \left( {2x + 1} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{2x}}{{2x + 1}}dx} \\ \Rightarrow I = \ln 3 - \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{2x + 1}}} \right)dx} \\ \Rightarrow I = \ln 3 - \left. {\left( {x - \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\ \Rightarrow I = \ln 3 - \left( {1 - \frac{1}{2}\ln 3} \right)\\ \Rightarrow I = \frac{3}{2}\ln 3 - 1\\ \Rightarrow a = 3,\,\,b = 2,\,\,c = 1\end{array}\)

Vậy \(a - b = c\).

Loại A, C vì trong phương trình chứa hạng tử \(xy\) và \(yz\).

Loại B vì \({\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 5}}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)^2} - 2019 < 0\).

Ta có \(z = 2 - 2\sqrt 3 i\) \( \Rightarrow {z^3} = {\left( {2 - 2\sqrt 3 i} \right)^3} =  - 64\) nên D sai.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi \(y = {x^2} - 4x + 4,\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 3\) xung quanh trục \(Ox\) là:

\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^3 {\left| {{{\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}^2}} \right|dx} \\ = \pi \left| {\int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}^2}dx} } \right|\\ + \pi \left| {\int\limits_2^3 {{{\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}^2}dx} } \right|\\ = \frac{{32}}{5}\pi  + \frac{1}{5}\pi  = \frac{{33\pi }}{5}\end{array}\)

Ta có \(z = \left( {7 - 2i} \right){\left( {1 + 5i} \right)^2}\)\( =  - 148 + 118i\)

Vậy số phức đã cho có phần ảo là 118.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} =  \pm \sqrt x  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right..\)

Thể tích khối tròn xoay là \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - x} \right|dx}  = \frac{{3\pi }}{{10}}.\)

Ta có \(A\left( {1;1;1} \right);B\left( {2;4;5} \right);C\left( {4;1;2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {1;3;4} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {3;0;1} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3;11; - 9} \right).\)

Mặt phẳng đi qua 3 điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3;11; - 9} \right)\) là 1 VTPT có phương trình:

\(3\left( {x - 1} \right) + 11\left( {y - 1} \right) - 9\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + 11y - 9z - 5 = 0.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow  - 3 + \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx}  = 7\\ \Leftrightarrow \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx}  = 7 - \left( { - 3} \right) = 10.\end{array}\)

\({z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + \sqrt 2 i\\{z_2} = 1 - \sqrt 2 i\end{array} \right..\)

Mặt cầu:

\(\left( {{S_m}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2}\)\( - 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0\)

có bán kính

\(\begin{array}{l}R =\\ \sqrt {{{\left( {2m} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - m} \right)}^2} - {m^2} - 4m} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {4{m^2} - 4m + 4} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + 3}  \ge \sqrt 3 \end{array}\)

Vậy mặt cầu \(\left( {{S_m}} \right)\) có bán kính nhỏ nhất \(R = \sqrt 3  \Leftrightarrow 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\).

Hoành độ giao điểm của hàm số với trục hoành là \(4 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 2\)

Diện tích hình phẳng cần tìm là: \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {4 - {x^2}} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx}  = \frac{{32}}{3}.\)

Gọi \(H\left( {1 + t;\,\, - 3 + 2t;\,\, - 2 + 3t} \right) \in d.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MH}  = \left( {t - 4;\,\,2t - 6;\,\,3t - 4} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;2;3} \right)\).

 Vì \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(d\) nên \(MH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1.\left( {t - 4} \right) + 2.\left( {2t - 6} \right) + 3.\left( {3t - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 14t - 28 = 0 \Leftrightarrow t = 2.\end{array}\)

Vậy \(H\left( {3;1;4} \right).\)

Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\). Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z  - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi + i - 1} \right| = \left| {x - yi - 2z} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x - 1 + \left( {y + 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y + 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 2y + 1\\ = {x^2} + {y^2} + 4y + 4\\ \Leftrightarrow 2x + 2y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng có phương trình \(x + y + 1 = 0\).

Gọi \(\left( {d'} \right)\) là đường thẳng chứa A và song song với \(\left( d \right)\).

Vì \(d'\parallel d \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}}  = \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;3;4} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d'\) đi qua \(A\left( {3; - 3;5} \right)\) và có  VTCP \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( {1;3;4} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - 3 + 3t\\z = 5 + 4t\end{array} \right..\)

Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l} - x = x - 2 \Leftrightarrow x = 1\\x - 2 = \sqrt x  \Leftrightarrow x = 4\end{array}\)

Ta xác định được \({x_A} = 1,\,\,{x_B} = 4\).

Diện tích hình phẳng cần tính bao gồm:

- \({S_1}\): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,\,\,y =  - x\), \(x = 0,\,\,x = 1\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x  - \left( { - x} \right)} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}}  + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1\\ = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 0 = \frac{7}{6}\end{array}\)

- \({S_2}\): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,\,\,y = x - 2\), \(x = 1,\,\,x = 4\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} = \int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x  - \left( {x - 2} \right)} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}}  - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^4\\ = \frac{2}{3}.8 - 8 + 8 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2\\ = \frac{{19}}{6}\end{array}\)

Vậy diện tích cần tính là: \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{7}{6} + \frac{{19}}{6} = \frac{{13}}{3}\).

Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z  - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi + i - 1} \right| = \left| {x - yi - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 1} \right) + \left( {y + 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y + 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 2y + 1\\ = {x^2} + {y^2} + 4y + 4\\ \Leftrightarrow 2x + 2y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\end{array}\)

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(\left( d \right):\,\,x + y + 1 = 0\).

Khi đó \(\left| z \right| = OM\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow OM = d\left( {O;d} \right)\)\( = \frac{{\left| {0 + 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

ĐKXĐ: \(x \ne 4\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{4}{{x - 4}} = 0\) (Vô nghiệm).

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\frac{4}{{x - 4}}} \right)}^2}dx}  = 4\pi .\)

Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\). Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,z + 2\overline z  = {\left( {1 + 5i} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x + yi + 2\left( {x - yi} \right) =  - 24 + 10i\\ \Leftrightarrow 3x - yi =  - 24 + 10\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x =  - 24\\ - y = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 8\\y =  - 10\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(z =  - 8 - 10i\) có phần ảo bằng \( - 10\).

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{16} {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 9}  - \sqrt x }}} \\\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{16} {\frac{{\left( {\sqrt {x + 9}  + \sqrt x } \right)dx}}{{x + 9 - x}}} \\\,\,\,\, = \int\limits_0^{16} {\frac{{\left( {\sqrt {x + 9}  + \sqrt x } \right)dx}}{9}} \\\,\,\,\, = \left. {\frac{1}{9}.\frac{2}{3}\left[ {\sqrt {{{\left( {x + 9} \right)}^3}}  + \sqrt {{x^3}} } \right]} \right|_0^{16}\\\,\,\,\, = \frac{2}{{27}}\left( {125 + 64 - 27 - 0} \right) = 12.\end{array}\)

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - z - 8 = 0\\3x + 4y - z - 11 = 0\end{array} \right.\) là tập hợp các điểm cùng thuộc hai mặt phẳng.

Cho \(x = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - z - 8 = 0\\4y - z - 11 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z =  - 7\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A\left( {0;1; - 7} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right).\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - z - 8 = 0\\3x - z - 11 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\z =  - 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B\left( {3;0; - 2} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right).\)

Khi đó đường thẳng \(d\) là giao tuyến của \(\left( P \right);\left( Q \right)\) là đường thẳng đi qua \(A,\,\,B\), nhận  \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 1;5} \right)\) là 1 VTCP. Do đó chỉ có đáp án A thỏa mãn.

\(\int {\cot xdx = \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} } \)

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\int {\cot xdx = \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} } \\ = \int {\frac{{dt}}{t}}  = \ln \left| t \right| + C\\ = \ln \left| {\sin x} \right| + C\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\int {{{\tan }^2}x} dx = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} \\ = \tan x - x + C\end{array}\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \(I\left( { - 2;1; - 3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - 5}  = 3.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^\pi  {\sqrt {1 + \cos 2x} } dx\\ = \int\limits_0^\pi  {\sqrt {2{{\cos }^2}x} dx}  = \int\limits_0^\pi  {\sqrt 2 } \left| {\cos x} \right|dx\end{array}\)

Xét trên \(\left[ {0;\pi } \right]\) ta có: \(\cos x \ge 0 \Leftrightarrow \left| {\cos x} \right| = \cos x\).

Vậy \(I = \int\limits_0^\pi  {\sqrt 2 } \cos xdx = \sqrt 2 \left. {\sin x} \right|_0^\pi  = 0\).

Ta có

\(\begin{array}{l}A\left( {0;0;3} \right);B\left( {1;1;3} \right);C\left( {0;1;1} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1;0} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {0;1; - 2} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;2;1} \right)\end{array}\)

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(A\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;2;1} \right)\) là 1 VTPT.\( - 2.\left( {x - 0} \right) + 2.\left( {y - 0} \right) + 1.\left( {z - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2x + 2y + z - 3 = 0.\)

Vậy \(d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 1\).

Vì \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right) \Rightarrow IA \bot \left( P \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{IA}}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(IA\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(IA\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 - 2t\\z = t\end{array} \right.\).

Gọi \(I\left( {2 + t; - 1 - 2t;t} \right) \in \left( {IA} \right)\).

Mà \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right) \Rightarrow I \in \left( P \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2 + t - 2.\left( { - 1 - 2t} \right) + t + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 6t + 6 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\\ \Rightarrow I\left( {1;1; - 1} \right)\end{array}\)

Khi đó bán kính mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(A\) là:

\(R = IA\)\( = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2}}  \)\(= \sqrt 6 \)

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1;1; - 1} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 6 \) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.\)

+) Đặt \(z = a + bi \Rightarrow  - z =  - a - bi.\)

Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\)\(\left| { - z} \right| = \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} \)

\( \Rightarrow \left| z \right| = \left| { - z} \right|\) là mệnh đề đúng.

+) Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi.\)

Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\)\(\left| {\overline z } \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} \)

\( \Rightarrow \left| z \right| = \left| {\overline z } \right|\) là mệnh đề đúng.

+) Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\)\( \Rightarrow z + \overline z  = 2a\)

\( \Rightarrow \left| {z + \overline z } \right| = \left| {2a} \right|\) \( \Rightarrow \left| {z + \overline z } \right| = 0\) là mệnh đề sai.

+) Đặt \(z = a + bi\)\( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \ge 0\)

\( \Rightarrow \left| z \right| > 0\) là mệnh đề sai.

Vậy có 2 mệnh đề đúng.

Ta có \(z = \frac{{m + 3i}}{{1 - i}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow w = {z^2} = {\left( {\frac{{m + 3i}}{{1 - i}}} \right)^2}\\ \Rightarrow w = \frac{{{m^2} + 6mi - 9}}{{ - 2i}}\\ = \frac{{\left( {{m^2} - 9} \right) + 6mi}}{{ - 2i}}\\ = \frac{{\left( {{m^2} - 9} \right)i + 6m{i^2}}}{{ - 2{i^2}}}\\ = \frac{{\left( {{m^2} - 9} \right)i - 6m}}{2}\\ \Rightarrow \left| w \right| = \frac{{\sqrt {{{\left( {{m^2} - 9} \right)}^2} + 36{m^2}} }}{2}\end{array}\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left| w \right| = 9 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {{m^2} - 9} \right)}^2} + 36{m^2}} }}{2} = 9\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{m^2} - 9} \right)}^2} + 36{m^2}}  = 18\\ \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 9} \right)^2} + 36{m^2} = 324\\ \Leftrightarrow {m^4} + 18{m^2} - 243 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 9\\{m^2} =  - 27\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  \pm 3\end{array}\)

Vậy \(m =  \pm 3\).

Gọi I là trung điểm của AB

Suy ra \(I\left( {0;0;1} \right)\)

Ta có \(AB = \sqrt {{6^2} + {2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt {11} \)

\(\Delta ABM\) vuông tại M suy ra M nằm trên mặt cầu tâm I bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt {11} \)

\(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 3 - 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \sqrt {11} \)

Suy ra M là hình chiếu của I lên (P)

Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) là

\(\begin{array}{l}d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 1 + 3t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {t;t;1 + 3t} \right)\\M \in \left( P \right)\\ \Rightarrow t + t + 3\left( {1 + 3t} \right) - 14 = 0\\ \Rightarrow t = 1\\ \Rightarrow M\left( {1;1;4} \right)\\ \Rightarrow d\left( {M;\left( {Oxy} \right)} \right) = 4\end{array}\)