Khi xảy ra hiện tượng cộng hưởng, tần số ngoại lực bằng tần số dao động riêng.

Phương trình gia tốc: \(a={x}''=-{{\omega }^{2}}A\cos \left( \omega t+\varphi  \right)\)

Biên độ dao động tổng hợp:

\(A=\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)}\)

Công thức tính tần số của con lắc lò xo là:

\(f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{\Delta {{\text{l}}_{0}}}}\)

Dao động tắt dần có chu kì không đổi theo thời gian.

Hai dao động cùng phương, cùng tần số, cùng pha có độ lệch pha: \(\Delta \varphi =k2\pi \)

Vận tốc của vật dao động điều hòa luôn cùng hướng chuyển động.

Lực kéo về của con lắc đơn: \(F=-mg\alpha \)

Cấu tạo con lắc đơn gồm: một vật nặng treo vào một sợi dây nhẹ, không dãn vào một điểm cố định.

Nguyên nhân gây ra dao động tắt dần của con lắc lò xo trên mặt phẳng ngang là do ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang.

Phương trình dao động điều hòa \(x=A\cos \left( \omega t+\varphi  \right)\) với A là biên độ dao động

Trong dao động điều hòa của con lắc lò xo, cơ năng luôn được bảo toàn.

Dao động của đồng hồ quả lắc là dao động duy trì.

Gia tốc cực đại của dao động điều hòa: \({{a}_{\max }}={{\omega }^{2}}A\)

Động năng của con lắc lò xo: \({{W}_{d}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}\)

Chu kì của con lắc đơn: \(T=2\pi \sqrt{\frac{\text{l}}{g}}\)

Chu kì dao động của con lắc là: \(T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2\pi }=1\left( s \right)\)

Để xảy ra hiện tượng cộng hưởng, tần số của ngoại lực: \(\omega ={{\omega }_{0}}=10\pi \left( rad/s \right)\)

Tần số dao động riêng của hệ là: \({{f}_{0}}=\frac{{{\omega }_{0}}}{2\pi }=\frac{10\pi }{2\pi }=5\left( Hz \right)\)

Biên độ dao động tổng hợp là: \(A=\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi }\)

Với \(0\le \varphi \le \pi \Rightarrow \left| {{A}_{1}}+{{A}_{2}} \right|\le A\le {{A}_{1}}+{{A}_{2}}\Rightarrow 3\le A\le 13\left( cm \right)\)

→ Biên độ dao động tổng hợp có thể nhận giá trị 10cm.

Lực kéo về cực đại tác dụng lên con lắc là: \({{F}_{\max }}=m{{\omega }^{2}}A=0,{{2.10}^{2}}.0,1=2\left( N \right)\)

Tần số góc dao động của con lắc là: \(\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{100}{0,25}}=20\left( rad/s \right)\)

Cơ năng ban đầu của con lắc là: \(W=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\)

Sau 1 chu kì, cơ năng của con lắc còn lại là:

\({W}'=W-\Delta W=0,94W=0,94.\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{{A}'}^{2}}=0,94.\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\Rightarrow {A}'=\sqrt{0,94}A\approx 0,97A\)

\(\Rightarrow \Delta A=A-{A}'=0,03A=A.3%\)

Độ lệch pha của hai dao động là: \(\Delta \varphi =\left| {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right|=\left| \frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{2} \right|=\frac{\pi }{3}\left( rad \right)\)

Tần số góc của con lắc là: \(\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{9}{1}}=3\left( rad/s \right)\)

Áp dụng công thức độc lập với thời gian tại thời điểm t, ta có:

\({{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow {{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}+\frac{{{6}^{2}}}{{{3}^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow A=4\left( cm \right)\)

Cơ năng của con lắc là: \(W=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}=\frac{1}{2}.9.0,{{04}^{2}}=7,{{2.10}^{-3}}\left( J \right)=7,2\left( mJ \right)\)

Chiều dài quỹ đạo của vật là: \(L=2A=2.3=6\left( cm \right)\)

Vận tốc cực đại của chất điểm là:

\({{v}_{\max }}=\omega A=2\pi f.A=2\pi .4.10=80\pi \left( cm/s \right)\)

Quãng đường vật đi được trong 1 chu kì là: \(S=4A\)

Chu kì của con lắc là: \(T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\Rightarrow l=\frac{g{{T}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}=\frac{9,{{87.1}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}=0,25\left( m \right)\)

Chu kì của hai con lắc là: 

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{T}_{1}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{1}}}{g}} \\ {{T}_{2}}=2\pi \sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{g}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{{{l}_{1}}}}\)

Trong cùng một khoảng thời gian, hai con lắc thực hiện được số chu kì là:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{n}_{1}}=\frac{\Delta t}{{{T}_{1}}} \\ {{n}_{2}}=\frac{\Delta t}{{{T}_{2}}} \\ \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \frac{{{n}_{1}}}{{{n}_{2}}}=\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\sqrt{\frac{{{l}_{2}}}{{{l}_{1}}}}\Rightarrow \frac{{{l}_{2}}}{{{l}_{1}}}={{\left( \frac{{{n}_{1}}}{{{n}_{2}}} \right)}^{2}}={{\left( \frac{30}{36} \right)}^{2}}=\frac{25}{36}\Rightarrow {{l}_{2}}=\frac{25}{36}{{l}_{1}}\)

Lại có: \({{l}_{1}}-{{l}_{2}}=22\Rightarrow {{l}_{1}}-\frac{25}{36}{{l}_{1}}=22\Rightarrow {{l}_{1}}=72\left( cm \right)\)

\(\Rightarrow {{l}_{2}}=\frac{25}{36}{{l}_{1}}=50\left( cm \right)\)

Độ lệch pha giữa hai dao động là: \(\Delta \varphi ={{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\frac{\pi }{4}-\left( -\frac{3\pi }{4} \right)=\pi \)

→ Hai dao động ngược pha

Biên độ của dao động tổng hợp là: \(A=\left| {{A}_{1}}-{{A}_{2}} \right|=\left| 4-3 \right|=1\left( cm \right)\)

Gia tốc cực đại là: \({{a}_{\max }}={{\omega }^{2}}A={{10}^{2}}.1=100\left( cm/{{s}^{2}} \right)=1\left( m/{{s}^{2}} \right)\)

Từ đồ thị ta thấy pha dao động tại thời điểm \({{t}_{1}}\) và \({{t}_{2}}\) là:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\varphi }_{1}}=-\frac{\pi }{3}\left( rad \right) \\ {{\varphi }_{2}}=0\left( rad \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \Delta \varphi ={{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}=\frac{\pi }{3}\left( rad \right)\)

\(\Delta \varphi =\omega \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)\Rightarrow \omega .2=\frac{\pi }{3}\Rightarrow \omega =\frac{\pi }{6}\left( rad/s \right)\)

Chu kì của con lắc là: \(T=2\pi \sqrt{\frac{\Delta l}{g}}\)

\(\Rightarrow \Delta l=\frac{g{{T}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}=\frac{10.0,{{4}^{2}}}{4.{{\pi }^{2}}}=0,04\left( m \right)=4cm\) \(\Rightarrow \Delta l=\frac{A}{2}\)

Ta có VTLG:

Từ VTLG, ta thấy lực đàn hồi ngược chiều với lực kéo về khi vật có li độ:

\(-\Delta l\le x\le 0\Rightarrow -\frac{A}{2}\le x\le 0\)

Góc quét trong 1 chu kì là: \(\Delta \varphi =2\alpha =2\left( \frac{\pi }{2}-ar\cos \frac{\Delta l}{A} \right)=2.\left( \frac{\pi }{2}-ar\cos \frac{1}{2} \right)=\frac{\pi }{3}\left( rad \right)\)

Thời gian lực đàn hồi ngược chiều lực kéo về trong 1 chu kì là: \(\Delta t=\frac{\Delta \varphi }{\omega }=\frac{\Delta \varphi }{\frac{2\pi }{T}}=\frac{\frac{\pi }{3}}{\frac{2\pi }{0,4}}=\frac{1}{15}\left( s \right)\)

Ta có giản đồ vecto:

Từ giản đồ vecto, áp dụng định lí hàm cos, ta có:

\({{A}_{2}}^{2}={{A}_{1}}^{2}+{{A}^{2}}-2A.{{A}_{1}}\cos \frac{\pi }{3}\)

\(\Rightarrow {{A}_{2}}^{2}={{10}^{2}}+{{10}^{2}}-2.10.10.\cos \frac{\pi }{3}\)

\(\Rightarrow {{A}_{2}}^{2}=100\Rightarrow {{A}_{2}}=10\left( cm \right)\)

Từ đồ thị ta thấy biên độ dao động: \(A=4cm\)

Ở thời điểm đầu, vật có li độ \(x=-2cm=-\frac{A}{2}\) và đang tăng

Ta có VTLG:

Từ đồ thị ta thấy pha đàu của dao động là: \(\varphi =-\frac{2\pi }{3}\left( rad \right)\)

Ở thời điểm \(t=7s\), vật ở VTCB và đang giảm → pha dao động là: \(\frac{\pi }{2}\left( rad \right)\)

Góc quét từ thời điểm \(t=0\) đến \(t=7s\) là: \(\Delta \varphi =\frac{\pi }{2}-\left( -\frac{2\pi }{3} \right)=\frac{7\pi }{6}\left( rad \right)\)

Tần số góc của dao động là: \(\omega =\frac{\Delta \varphi }{\Delta t}=\frac{\frac{7\pi }{6}}{7}=\frac{\pi }{6}\left( rad/s \right)\)

Phương trình dao động của vật là: \(x=4\cos \left( \frac{\pi }{6}t-\frac{2\pi }{4} \right)\left( cm \right)\)

Ban đầu vật ở vị trí lò xo dãn 9cm \(\Rightarrow A=9cm\)

Vật đến vị trí lò xo bị nén cực đại tức là vật đi được nửa chu kì.

⇒ Độ giảm biên độ sau nửa chu kì: \(\Delta A=\frac{2\mu mg}{k}=\frac{2.0,1.0,2.10}{20}=0,02m=2cm\)

Biên độ dao động của vật sau nửa chu kì: \({A}'=A-\Delta A=9-2=7cm\)

⇒ Độ nén cực đại của lò xo là: \(\Delta {{l}_{nen}}={A}'=7cm\)

Biên độ cong: \({{S}_{0}}={{\alpha }_{0}}.l=0,15.40=6cm\)

Có: \(\Delta t=\frac{2T}{3}=\frac{T}{2}+\frac{T}{6}\)

+ Với khoảng thời gian \(\frac{T}{2}\) vật luôn đi được quãng đường là \(2{{S}_{0}}\)

+ Với khoảng thời gian \(\frac{T}{6}\) vật đi được quãng đường lớn nhất khi nó di chuyển gần VTCB. Góc quét được: \({{\varphi }_{\frac{T}{6}}}=\omega .\frac{T}{6}=\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{6}=\frac{\pi }{3}\)

Biểu diễn trên VTLG ta có:

Từ hình vẽ ta tính được quãng đường cực đại mà quả cầu đi được trong \(\frac{2T}{3}\) là:

\(S=2{{S}_{0}}+{{S}_{0}}=3{{S}_{0}}=3.6=18cm\)

+ Ta có VTLG:

Từ hình vẽ ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a=A.\sin \frac{\varphi }{2} \\ b=A.\cos \frac{A}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{A}^{2}}=100\left( c{{m}^{2}} \right)\left( 1 \right)\)

+ Lại có hình vẽ:

Góc quét được sau \(\frac{2}{3}s\) là: \(\Delta \varphi =2\alpha =\omega .\Delta t=\pi .\frac{2}{3}\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{3}\)

Có: \({{v}_{0}}=\omega A.\sin \frac{\alpha }{2}\Leftrightarrow \frac{\pi }{3}.\left( b\sqrt{3}-3 \right)=\pi .10.\sin \frac{\pi }{6}\)

\(\Leftrightarrow b\sqrt{3}-a=15cm\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=100 \\ b\sqrt{3}-a=15cm \\ \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a=1,978 \\ b=9,802 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{a}{b}=0,2\)

Gọi \({{g}_{1}}\) và \({{g}_{2}}\) là gia tốc của hai con lắc khi chịu tác dụng của ngoại lực.

Gọi \({{a}_{1}}\) và \({{a}_{2}}\) là gia tốc do lực điện tác dụng lên con lắc 1 và 2.

Có \({{a}_{1}}={{a}_{2}}\) vì hai con lắc giống nhau đặt trong cùng điện trường đều: \({{a}_{1}}={{a}_{2}}=\frac{\left| q \right|E}{m}\)

Hai con lắc cùng biên độ nên \(\overrightarrow{{{g}_{1}}}\uparrow \uparrow \overrightarrow{{{g}_{2}}}\)

Có \({{T}_{2}}>{{T}_{1}}\Rightarrow {{g}_{2}}<{{g}_{1}}\)

Xét tam giác ABC có:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{q}_{1}}={{q}_{2}} \\ \overrightarrow{{{a}_{1}}}\bot \overrightarrow{{{a}_{2}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân.

Tam giác OAC có: \(\widehat{OBA}={{37}^{0}}\Rightarrow \frac{{{g}_{2}}}{\sin 37}=\frac{{{a}_{2}}}{\sin 8}\,\,\left( 1 \right)\)

Tam giác OAC có: \(\frac{{{g}_{1}}}{\sin 127}=\frac{{{a}_{1}}}{\sin 8}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{{{g}_{1}}}{\sin 127}=\frac{{{g}_{2}}}{\sin 37}\Rightarrow \frac{{{g}_{1}}}{{{g}_{2}}}=\frac{\sin 127}{\sin 37}\)

Mà: 

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}=\sqrt{\frac{{{g}_{1}}}{{{g}_{2}}}}=\sqrt{\frac{\sin 127}{\sin 37}}\Rightarrow {{T}_{2}}={{T}_{1}}.\sin \sqrt{\frac{\sin 127}{\sin 37}} \\ {{T}_{2}}={{T}_{1}}+0,25 \\ \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {{T}_{1}}\sin \sqrt{\frac{\sin 127}{\sin 37}}={{T}_{1}}+0,25\Rightarrow {{T}_{1}}=1,645s\)

\(\Rightarrow {{T}_{2}}={{T}_{1}}+0,25=1,645+0,25=1,895s\)

Ta có: 

\(4,5x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}=18\Leftrightarrow \frac{4,5}{18}x_{1}^{2}+\frac{2}{18}x_{2}^{2}=1\Leftrightarrow \frac{x_{1}^{2}}{4}+\frac{x_{2}^{2}}{9}=1\) \(\Leftrightarrow {{\left( \frac{{{x}_{1}}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{x}_{2}}}{3} \right)}^{2}}=1\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{1}}\bot {{x}_{2}} \\ {{A}_{1}}=2cm \\ {{A}_{2}}=3cm \\ \end{array} \right.\)

⇒ Biên độ của dao động tổng hợp: \(A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}cm\)

+ Tại VTCB O của hệ gồm 2 vật A và B lò xo dãn:

\(\Delta l=\frac{\left( {{m}_{A}}+{{m}_{B}} \right).g}{k}=\frac{\left( 0,5+0,5 \right).10}{100}=0,1m=10cm\)

+ Khi dây đứt, tại VTCB của vật A, lò xo dãn:

\(\Delta {{l}_{A}}=\frac{{{m}_{A}}g}{k}=\frac{0,5.10}{100}=0,05m=0,5cm\)

+ Sau khi đứt dây, vật A dao động điều hòa quanh VTCB \({{O}_{A}}\) , li độ ban đầu của vật (≡ VTCB của hệ ban đầu) cũng là biên độ dao động của A (vì tại đây \({{v}_{A}}=0\)):

\(A=x=\Delta l-\Delta {{l}_{A}}=10-5=5cm\)

Với chu kì: \(T=2\pi \sqrt{\frac{{{m}_{A}}}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{0,5}{100}}=\frac{\sqrt{5}}{5}s\)

+ Khi A lên đến vị trí cao nhất ở biên trên thì hết thời gian \(t=\frac{T}{2}=\frac{\sqrt{5}}{10}s\)

Tại thời điểm A ở vị trí cao nhất, B đã đi được quãng đường:

\(S=\frac{1}{2}g{{t}^{2}}=\frac{1}{2}.10.{{\left( \frac{\sqrt{5}}{10} \right)}^{2}}=0,25m=25cm\)

Khoảng cách giữa hai vật: \(d=2A+l+S=2.5+15+25=50cm\)