Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hai số thực x,y thay đổi thỏa mãn \(x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\).Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S={{3}^{x+y-4}}+\left( x+y+1 \right){{2}^{7-x-y}}-3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\) là \(\frac{a}{b}\) với a,b là các số nguyên dương và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính a+b.
A. 8
B. 141
C. 148
D. 151
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
Chú ý với hai căn thức ta có đánh giá sau: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge \sqrt{a+b}$ và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\le \sqrt{2\left( a+b \right)}\).
Vậy theo giả thiết,ta có \(x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\ge 2\sqrt{x+y+1}\)
\(\Rightarrow \left[ \begin{align} & x+y+1=0 \\ & x+y+1\ge 4 \\ \end{align} \right.\)
Và \(x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\le 2\sqrt{2\left( x+y+1 \right)}\Rightarrow x+y+1\le 8\).
Nếu x+y+1=0\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=-3 \\ \end{align} \right.\) \(\Rightarrow S=-\frac{9476}{243}\).
Nếu \(t=x+y\in \left[ 3;7 \right]\),ta có
\({{x}^{2}}\ge 2x\left( x\ge 2 \right);{{\left( y-1 \right)}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{y}^{2}}\ge 2y-1\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2\left( x+y \right)-1\).
Vì vậy \(S\le {{3}^{x+y-4}}+\left( x+y+1 \right){{2}^{7-x-y}}-6\left( x+y \right)+3\).
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{3}^{t-4}}+\left( t+1 \right){{2}^{7-t}}-6t+3\) trên đoạn \(\left[ 3;7 \right]\) ta có:
\(f'\left( t \right)={{3}^{t-4}}\ln 3+{{2}^{7-t}}-\left( t+1 \right){{2}^{7-t}}\ln 2-6\).
\(f''\left( t \right)={{3}^{t-4}}{{\ln }^{2}}3+{{2}^{7-t}}\ln 2-\left( {{2}^{7-t}}-\left( t+1 \right){{2}^{7-t}}\ln 2 \right)\ln 2\)
\(={{3}^{t-4}}{{\ln }^{2}}3+\left[ \left( t+1 \right)\ln 2-2 \right]{{2}^{7-t}}\ln 2>0,\forall t\in \left[ 3;7 \right]\).
Mặt khác \(f'\left( 3 \right)f'\left( 7 \right)<0\Rightarrow f'\left( t \right)=0\) có nghiệm duy nhất \({{t}_{0}}\in \left( 3;7 \right)\).
Vậy ta lập được bảng biến thiên của hàm số \(f\left( t \right)\) như dưới đây:
.PNG)
Suy ra \(\max S=\underset{\left[ 3;7 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( 3 \right)=\frac{148}{3}\).Dấu bằng đạt tại x=2;y=1.
Do đó T=148+3=151
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x+1}{1}=\frac{z-1}{-1}=\frac{y-3}{2}\). Một vectơ chỉ phương của d là
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 1 = 0\). Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1; - 2;1} \right)\) đến mặt phẳng (P) bằng
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + 4} \right) - mx + 3\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;1;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt chiều dương của các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) thỏa mãn OA = 2OB và thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S = 2a + b + 3c.
Cho a, b, x là các số thực dương thỏa mãn \({\log _5}x = 2{\log _{\sqrt 5 }}a + 3{\log _{\frac{1}{5}}}b\). Mệnh đề nào là đúng?
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật \(AB=a,AD=a\sqrt{2},SA\bot \left( ABCD \right)\) và SA=a (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( SBD \right)\) bằng:
.png)
Cho không gian Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = - 1 - 2t\\ z = 2 + t \end{array} \right.\), \({d_2}:\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua A và song song với hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 3}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z - 6 = 0\). Đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), cắt và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là
Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(2;-1;1) và tiếp xúc mặt phẳng (Oyz) có phương trình là:
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + x\) và \(F\left( 1 \right) = 1\). Giá trị của \(F\left( { - 1} \right)\) bằng
Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm trên đoạn [1;4] và thỏa mãn hệ thức \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = 4\\ g\left( x \right) = - x.f'\left( x \right);\,\,\,\,\,f\left( x \right) = - x.g'\left( x \right) \end{array} \right.\). Tính \(I = \int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \).
Nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{{1 - x}}\) là:
Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 2021\,;2021} \right]\) của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x - 3} }}{{{x^2} + x - m}}\) có đúng hai đường tiệm cận.
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) là
