Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 1;3 \right]\) và \(f\left( x \right)\ne 0\) với mọi \(x\in \left[ 1;3 \right]\), đồng thời \(f'\left( x \right)+{{\left( 1+f\left( x \right) \right)}^{2}}={{\left[ {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\left( x-1 \right) \right]}^{2}}\) và \(f\left( 1 \right)=-1.\) Biết rằng \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=a\ln 3+b,a,b\in \mathbb{Z}.\) Tính tổng \(S=a+{{b}^{2}}.\)
A. S = -1
B. S = 2
C. S = 0
D. S = -4
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
Ta có: \(f'(x){{(1+f(x))}^{2}}={{\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{(f(x))}^{2}}(x-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}^{2}}<=>\frac{f'(x){{(1+f(x))}^{2}}}{{{f}^{4}}(x)}={{(x-1)}^{2.}}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được \(\int{\frac{f'(x){{(1+f(x))}^{2}}}{{{f}^{4}}(x)}dx=\int{{{(x-1)}^{2}}dx}}\)
\(\begin{array}{l} < = > \int {\frac{{(1 + 2f(x) + {f^2}(x))f'(x)}}{{{f^4}(x)}}dx} = \int {{{(x - 1)}^2}dx} \\ < = > \int {\left( {\frac{1}{{{f^4}(x)}} + 2\frac{1}{{{f^3}(x)}} + \frac{1}{{{f^2}(x)}}} \right)} d(f(x)) = \frac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} + C\\ < = > - \frac{1}{{3{f^3}(x)}} - \frac{1}{{{f^2}(x)}} - \frac{1}{{f(x)}} = \frac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} + C\\ < = > - \frac{{1 + 3f(x) + 3{f^2}(x)}}{{3{f^3}(x)}} = \frac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} + C \end{array}\)
Mà \(f(1)=-1=>-\frac{1-3+3}{-3}=C=>C=\frac{1}{3}\)
\(\begin{array}{l} = > - \frac{{1 + 3f(x) + 3{f^2}(x)}}{{3{f^3}(x)}} = \frac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} + \frac{1}{3}\\ < = > \frac{{1 + 3f(x) + 3{f^2}(x)}}{{3{f^3}(x)}} + \frac{1}{3} = - \frac{{{{(x - 1)}^3}}}{3}\\ < = > \frac{{{{(1 + f(x))}^3}}}{{{f^3}(x)}} = - {(x - 1)^3}\\ < = > {\left( {1 + \frac{1}{{f(x)}}} \right)^3} = {(1 - x)^3}\\ < = > f(x) = \frac{{ - 1}}{x}. \end{array}\)
Vậy \(\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}=\int\limits_{1}^{3}{\frac{-1}{x}dx}=-\ln |x|\left| \begin{align} & 3 \\ & 1 \\ \end{align} \right.=-\ln 3\). Suy ra a=-1;b=0 hay a+b=-1.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.
.jpg.png)
Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)=-\frac{1}{2}\) là
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-5}{3}.\) Vectơ sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d?
Cho các số phức \({{z}_{1}}=1+3i,{{z}_{2}}=-5-3i\). Tìm điểm \(M\left( x;y \right)\) biểu diễn số phức \({{z}_{3}}\), biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng x-2y+1=0 và mô đun số phức \(\text{w}=3{{z}_{3}}-{{z}_{2}}-2{{z}_{1}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm đạo hàm của hàm số \(y={{\log }_{7}}x\) với \(\left( x>0 \right).\)
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow{a}=\left( -2;2;0 \right),\overrightarrow{b}=\left( 2;2;0 \right),\overrightarrow{c}=\left( 2;2;2 \right).\) Giá trị của \(\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right|\) bằng
Người ta muốn xây bể chứa nước dạng hình chữ nhật không nắp có thể tích \(200\text{ }{{m}^{3}}.\) Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê công nhân xây bể là 300.000 đồng/\({{m}^{2}}.\) Chi phí thuê công nhân thấp nhất là
Cho khối hộp hình chữ nhật có ba kích thước 2 ;4 ;6. Thể tích của khối hộp đã cho bằng
Cho \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=2}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)dx=5}\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{\left( f\left( x \right)-2g\left( x \right) \right)dx}\).
Cho số phức \(z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z \right|=1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\left| z+2 \right|+2\left| z-2 \right|.\)
Có bao nhiêu bộ \(\left( x;y \right)\) với x,y nguyên và \(1\le x,y\le 2020\) thỏa mãn \(\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+1}{x-3} \right)?\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=x{{\left( x-1 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{5}}{{\left( x-3 \right)}^{7}}.\) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng 2a (minh họa như hình vẽ). Cosin của góc hợp bởi \(\left( A'BC \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng
.png)
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(I\left( 1;1;1 \right)\) và \(A\left( 1;2;3 \right).\) Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-6z+1=0\). Tọa độ tâm I của mặt cầu là
