Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số y = f(x) liên tục trên R thỏa mãn f(1) = 1 và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = \frac{1}{3}} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left( {\sin x} \right)} \) dx
A. \(I = \frac{4}{3}\)
B. \(I = \frac{8}{3}\)
C. \(I = -\frac{4}{3}\)
D. \(I = -\frac{8}{3}\)
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
Ta có:
\(\begin{array}{l}
I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left( {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \right)dx} \\
= 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x.f'\left( {\sin x} \right)\cos xdx}
\end{array}\)
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;\,x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}
I = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x.f'\left( {\sin x} \right)\cos xdx} \\
= 2\int\limits_0^1 {t.f'\left( t \right)dt = 2\int\limits_0^1 {x.f'\left( x \right)dx} }
\end{array}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = f'\left( x \right)dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = f\left( x \right)
\end{array} \right.\)
Khi đó: \(I = 2\int\limits_0^1 {x.f'\left( x \right)dx = 2\left[ {\left. {x.f\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right]} \)
\( = 2\left[ {f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right] = 2\left( {1 - \frac{1}{3}} \right) = \frac{4}{3}\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Xét các điểm số phức z thỏa mãn \(\left( {\overline z + i} \right)\left( {z + 2} \right)\) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số \(y=2x^3-(2+m)x+m\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 9\). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.
Trong các hình dưới đây hình nào không phải là đa diện?
.PNG)
Phương trình \(\tan x = \sqrt 3 \) có tập nghiệm là
Đồ thị hàm số \(y=\frac{{7-2x}}{{x-2}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng?
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} - 1} \right)\).
Để đồ thị hàm số \(y = - {x^4} - \left( {m - 3} \right){x^2} + m + 1\) có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu thì tất cả giá trị thực của tham số m là:
Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng, tìm hình không là hình đa diện.
.PNG)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 9\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z + m = 0\), m là tham số. Biết rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính \(r = \sqrt 6 \). Giá trị của tham số m thỏa mãn bằng:
Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
.png)
Cho hàm số \(y=x^3+3x^2-2\) có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?
.PNG)
.png)
