Câu hỏi Đáp án 2 năm trước 28

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng \(\frac{7}{13}\) lần phần còn lại. Tính tỉ số \(k=\frac{IA}{IS}\) ? 

A. \(\frac{1}{2}\)

B. \(\frac{2}{3}\)

Đáp án chính xác ✅

C. \(\frac{3}{4}\)

D. \(\frac{1}{3}\)

Lời giải của giáo viên

verified HocOn247.com

Đặt \(\frac{SI}{SA}=x\left( 0<x<1 \right).\)

Trong (ABCD) kéo dài MN cắt AD, CD lần lượt tại P, Q. 

Trong (SAD) kéo dài PI cắt SD tại E. 

Trong (SCD) nối QE cắt SC tại J. 

Khi đó (IMN) cắt hình chóp theo thiết diện là IMNJE. 

Mặt phẳng (IMN) chia khối chóp thành hai phần, gọi \({{V}_{1}}\) là phần thể tích chứa đỉnh S và \(V={{V}_{S.ABCD}}\)

Khi đó ta có: \(\frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{7}{20}.\)

Ta có: \({{V}_{1}}={{V}_{S.BMN}}+{{V}_{S.MNI}}+{{V}_{S.INJ}}+{{V}_{IJE}}.\)

+) \(\frac{{{V}_{S.BMN}}}{V}=\frac{{{S}_{BMN}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{2}.\frac{BM}{BA}.\frac{BN}{BC}=\frac{1}{8}\Rightarrow {{V}_{S.BMN}}=\frac{V}{8}.\)

+) \(\frac{{{V}_{S.MNI}}}{{{V}_{S.MNA}}}=\frac{SI}{SA}=x\Rightarrow {{V}_{S.MNI}}=x{{V}_{S.MNA}}\)

\(\frac{{{V}_{S.MNA}}}{V}=\frac{{{S}_{MNA}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{\frac{1}{2}{{S}_{ABN}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{8}\Rightarrow {{V}_{S.MNA}}=\frac{1}{8}V\)

\(\Rightarrow {{V}_{S.MNI}}=\frac{x}{8}V.\)

+) \(\frac{{{V}_{S.INJ}}}{{{V}_{S.ANC}}}=\frac{SI}{SA}.\frac{SJ}{SC}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {IMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = IJ\\ \left( {IMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\ \left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC \end{array} \right.,\) lại có MN // AC (do MN là đường trung bình của tam giác ABC) 

\(\Rightarrow IJ//MN\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{SJ}{SC}=x.\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{S.INJ}}}{{{V}_{S.ANC}}}=\frac{SI}{SA}.\frac{SJ}{SC}={{x}^{2}}\Rightarrow {{V}_{S.INJ}}={{x}^{2}}{{V}_{S.ANC}}.\)

\(\frac{{{V}_{S.ANC}}}{V}=\frac{{{S}_{ANC}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}}{ABCD}=\frac{1}{4}.\)

\(\Rightarrow {{V}_{S.INJ}}=\frac{{{x}^{2}}}{4}V.\)

+) \(\frac{{{V}_{S.IJE}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\frac{SI}{SA}.\frac{SJ}{SC}.\frac{SE}{SD}={{x}^{2}}\frac{SE}{SD}.\)

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta BMN=\Delta CQN\left( g.c.g \right)\Rightarrow BM=CQ=\frac{1}{2}CD.\)

\(\Rightarrow DQ=3CQ=3AM\Rightarrow \frac{AM}{DQ}=\frac{PA}{PD}=\frac{1}{3}.\)

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác SAD ta có: 

\(\frac{PA}{PD}.\frac{ED}{ES}.\frac{IS}{IA}=1\Rightarrow \frac{1}{3}.\frac{ED}{ES}.\frac{x}{1-x}=1\Leftrightarrow \frac{ED}{ES}=\frac{3\left( 1-x \right)}{x}\)

\(\Rightarrow \frac{ED+ES}{ES}=\frac{3-2x}{x}\Rightarrow \frac{SE}{SD}=\frac{x}{3-2x}\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{S.IJE}}}{{{V}_{S.ACD}}}={{x}^{2}}\frac{SE}{SD}={{x}^{2}}.\frac{x}{3-2x}=\frac{{{x}^{3}}}{3-2x}.\)

Mà \({{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{2}V\Rightarrow {{V}_{S.IJE}}=\frac{{{x}^{3}}}{6-4x}V.\)

Khi đó ta có: 

\({{V}_{1}}={{V}_{S.BMN}}+{{V}_{S.MNI}}+{{V}_{S.INJ}}+{{V}_{S.IJE}}\)

      \(=\frac{V}{8}+\frac{x}{8}V+\frac{{{x}^{2}}}{4}V+\frac{{{x}^{3}}}{6-4x}V\)

      \(=\left( \frac{1}{8}+\frac{x}{8}+\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{x}^{3}}}{6-4x} \right)V\)

\(\Rightarrow \frac{1}{8}+\frac{x}{8}+\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{x}^{3}}}{6-4x}=\frac{7}{20}\)

Thử đáp án: 

Đáp án A: \(k=\frac{IA}{IS}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{SI}{SA}=\frac{2}{3}\Rightarrow \) Loại

Đáp án B: \(k=\frac{IA}{IS}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{3}{5}\Rightarrow \) Thỏa mãn.

CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1: Trắc nghiệm

Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D'. Biết \(AC'=a\sqrt{3}.\)

Xem lời giải » 2 năm trước 60
Câu 2: Trắc nghiệm

Đồ thị trong hình là của hàm số nào?

Xem lời giải » 2 năm trước 58
Câu 3: Trắc nghiệm

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên \(SA=a\sqrt{5},\) mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC bằng: 

Xem lời giải » 2 năm trước 57
Câu 4: Trắc nghiệm

Hàm số nào trong bốn hàm số sau có bảng biến thiên như hình vẽ sau? 

Xem lời giải » 2 năm trước 56
Câu 5: Trắc nghiệm

Đồ thị hàm số \(y=\frac{{{x}^{4}}}{2}-{{x}^{2}}+3\) có mấy điểm cực trị

Xem lời giải » 2 năm trước 56
Câu 6: Trắc nghiệm

Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'. Biết tam giác ABC đều cạnh a và \(AA'=a\sqrt{3}.\) Góc giữa hai đường thẳng AB' và mặt phẳng (A'B'C') bằng bao nhiêu? 

Xem lời giải » 2 năm trước 53
Câu 7: Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) có đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem lời giải » 2 năm trước 53
Câu 8: Trắc nghiệm

Hàm số \(y=\left| {{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( x+1 \right) \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị? 

Xem lời giải » 2 năm trước 51
Câu 9: Trắc nghiệm

Nhận định nào dưới đây là đúng?

Xem lời giải » 2 năm trước 51
Câu 10: Trắc nghiệm

Có bao nhiêu số có ba chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số đó thuộc tập hợp \(\left\{ 1;2;3;...;9 \right\}?\)

Xem lời giải » 2 năm trước 51
Câu 11: Trắc nghiệm

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có \(AB=2a\sqrt{3},AD=2a.\) Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABD là: 

Xem lời giải » 2 năm trước 51
Câu 12: Trắc nghiệm

Cho đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}-3x-4}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? 

Xem lời giải » 2 năm trước 51
Câu 13: Trắc nghiệm

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA=2\sqrt{3}a.\) Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. 

Xem lời giải » 2 năm trước 50
Câu 14: Trắc nghiệm

Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+1.\) Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left( -25;\frac{11}{10} \right).\) Tìm M. 

Xem lời giải » 2 năm trước 50
Câu 15: Trắc nghiệm

Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\left| f\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)+m \right|\) có giá trị nhỏ nhất không vượt quá 5? 

Xem lời giải » 2 năm trước 50

📝 Đề thi liên quan

Xem thêm »
Xem thêm »

❓ Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »