Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh 2a. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng \(4a^3\). Tính khoảng cách từ điểm O tới mặt bên của hình chóp.
A. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
B. \(\frac{{3a}}{4}\)
C. \(\frac{{3a\sqrt {10} }}{{10}}\)
D. \(\frac{{a\sqrt {10} }}{{10}}\)
Lời giải của giáo viên
Vì S.ABCD là chóp tứ giác đều có O là tâm đáy nên \(SO \bot (ABCD).\) Gọi M là trung điểm BC, trong tam giác SOM kẻ \(OH \bot SM\) tại H.
Vì ABCD là hình vuông tâm O nên \(OB = OC = OA = OD = \frac{{BD}}{2}.\)
Suy ra \(OM \bot BC\) (vì \(\Delta OBC\) vuông cân có OM là trung tuyến cũng là đường cao)
Ta có \(SO \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot BC,\) lại có \(OM \bot BC\) nên \(BC \bot (SOM)\) suy ra \(BC \bot OH.\)
Từ đó vì \(\left\{ \begin{array}{l}
OH \bot SM\\
OH \bot BC
\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot (SBC)\) tại \(H \Rightarrow d\left( {O;(SBC)} \right) = OH.\)
Xét tam giác OBC vuông cân tại O có trung tuyến \(OM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.2a = a.\)
Diện tích đáy \({S_{ABCD}} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}.\) Ta có \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} \Leftrightarrow 4{a^3} = \frac{1}{3}SO.4{a^2} \Rightarrow SO = 3a.\)
Xét tam giác SOM vuông tại M có OH là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{SO{}^2}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {3a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \Leftrightarrow O{H^2} = \frac{{10}}{{9{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{3a\sqrt {10} }}{{10}}\)
Vậy \(d\left( {O;(SBC)} \right) = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}.\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - x + 1}}{{3x - 2}}\) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có hệ số góc là:
Với n là số nguyên dương, biểu thức \(T = C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n\) bằng
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình \(f\left( {{e^x}} \right) < m\left( {3{e^x} + 2019} \right)\) có nghiệm \(x \in (0;1)\) khi và chỉ khi
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left( {1 + {e^{2x}}} \right).\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Tìm kết luận đúng
Hàm số \(y = 2{x^3} - {x^2} + 5\) có điểm cực đại là:
Bảng biến thiên ở hình bên là của một trong bốn hàm số dưới đây. Tìm hàm số đó.
Một khối lăng trụ tứ giác đều có thể tích là 4. Nếu gấp đôi các cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao của khối lăng trụ này hai lần thì được khối lăng trụ mới có thể tích là:
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^3}{\left( {x - 3} \right)^4}.\) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Cho a, b là hai số thực dương tùy ý và \(b \ne 1.\) Tìm kết luận đúng.
Có bao nhiêu số nguyên dương là ước của 2592 hoặc là ước của 2916?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Mỗi bạn An , Bình chọn ngẫu nhiên 3 chữ số trong tập \(\left\{ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \right\}.\) Tính xác suất để trong hai bộ ba chữ số mà An, Bình chọn ra có đúng một chữ số giống nhau.
Hình lập phương có độ dài đường chéo là 6 thì có thể tích là
Từ một nhóm có 10 học sinh nam và 8 học sinh nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ?