Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hình thang ABCD có \(\angle A = \angle B = {90^0},\,AB = BC = a,\,AD = 2a\). Tính thể tích khối nón tròn xoay sinh ra khi quay quanh hình thang ABCD xung quanh trục CD
.png)
A. \(\frac{{7\pi {a^3}}}{{12}}\)
B. \(\frac{{7\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}}\)
C. \(\frac{{7\sqrt 2 \pi {a^3}}}{6}\)
D. \(\frac{{7\pi {a^3}}}{6}\)
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
.png)
Gọi A’, B’ lần lượt các điểm đối xứng A, B qua CD. H là trung điểm của BB’, ta dễ dàng chứng minh được C là trung điểm của AA’.
Gọi \(V_1\) là thể tích khối nón có chiều cao CD, bán kính đáy AC.
\(V_2\) là thể tích khối nón cụt có chiều cao CH, bán kính đáy nhỏ BH, bán kính đáy lớn AC.
\(V_3\) là thể tích khối nón có chiều cao CH, bán kính đáy BH.
Kẻ \(CK\bot AD\) suy ra ABCK là hình vuông \( \Rightarrow CK = KD = a\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông CKD ta có:
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta có:
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
Tam giác vuông CKD vuông câm tại K \(\angle KDC = {45^0} \Rightarrow \angle BCH = {45^0} \Rightarrow \Delta BCH\)vuông cân tại H.
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow BH = CH = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\\
\Rightarrow {V_1} = \frac{1}{3}\pi A{C^2}.CD = \frac{1}{3}\pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}a\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}\\
{V_2} = \frac{1}{3}\pi CH\left( {B{H^2} + A{C^2} + BH.AC} \right) = \frac{1}{3}\pi .\frac{a}{{\sqrt 2 }}\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + 2{a^2} + \frac{a}{{\sqrt 2 }}.a\sqrt 2 } \right) = \frac{{7\sqrt 2 \pi {a^2}}}{{12}}\\
{V_3} = \frac{1}{3}\pi B{H^2}.CH = \frac{1}{3}\pi .\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\pi \sqrt 2 {a^3}}}{{12}}
\end{array}\)
Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang ABCD quanh trục CD là:
\(V = {V_1} + {V_2} - {V_3} = \frac{{2\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3} + \frac{{7\sqrt 2 \pi {a^2}}}{{12}} - \frac{{\sqrt 2 \pi {a^2}}}{{12}} = \frac{{7\sqrt 2 \pi {a^3}}}{6}\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho số thực a dương khác 1. Biết rằng bất kỳ đường thẳng nào song song với trục Ox mà cắt đường thẳng \(y = {4^x},y = {a^x}\), trục tung lần lượt tại M, N và A thì AN = 2AM. Giá trị của a bằng
.png)
Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD đều là cạnh bằng 2, tam giác ABC vuông tại B, \(BC = \sqrt 3 \). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD bằng \(\frac{{\sqrt {11} }}{2}\). Khi đó độ dài cạnh CD là
Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. M là điểm thỏa mãn \(IM = \frac{{3R}}{2}\). Hai mặt phẳng (P), (Q) qua M và tiếp xúc với (S) lần lượt tại A và B. Biết góc giữa (P) và (Q) bằng \(60^0\). Độ dài đoạn thẳng AB bằng
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) là
Biết \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^{ - x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {2{x^2} - 5x + 2} \right){e^{ - x}}\) trên R. Giá trị của biểu thức \(f\left( {F\left( 0 \right)} \right)\) bằng
Cho tứ diện ABCD có AC = 3a, BD = 4a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), SA = 3a. Thể tích V của khối chóp S.ABCD là
Số có giá trị nguyên cảu tham số m thuộc đoạn [-2019;2] để phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {4x + 1} \right) + {{\log }_5}\left( {2x + 1} \right)} \right] = 2x - m\) có đúng hai nghiệm thực là
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và \(AB' \bot BC'\). Tinh thể tích V của khối lăng trụ đã cho
Cho khối nón có bán kính đáy là r, chiều cao h. Thể tích V của khối nón đó là :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên \(SA = a\sqrt 6 \) và vuông góc với đáy (ABCD). Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD
Cho cấp số nhân \((u_n)\) có công bội dương và \({u_2} = \frac{1}{4},\,{u_4} = 4\). Giá trị của \(u_1\) là
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi, biết AA’ = 4a; AC = 2a, BD = a. Thế tích V của khối lăng trụ là
Tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) < 3\) là
