Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\) trên đoạn [1;3]. Giá trị \(T = 2M + m\) bằng

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - {m^3} - m\), với m là tham  số. Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và I(2;- 2). Giá trị thực m < 1 để ba điểm I, A, B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng \(\sqrt 5 \) là

Họ các nguyên hàm của hàm số \(y = \cos x + x\) là

Cho hàm số \(f(x)\) có \(f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2}\), \(\forall x \in R\) . Số cực trị của hàm số đã cho là

Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({4^{ab}}{.2^{a + b}} = \frac{{8(1 - ab)}}{{a + b}}\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = ab + 2a{b^2}\) bằng

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Cho biết B(2;3;7), D(4;1;3). Lập phương trình mặt phẳng (SAC) .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 \).  Gọi a là góc giữa SD và mặt phẳng (SAC). Giá trị \(\sin \alpha \) bằng

Cho khối tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và \(OA = 2OB = 3OC = 3a\).Thể tích của khối tứ diện đã cho bằng

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\left[ {\frac{1}{3}\,;\,3} \right]\) thỏa mãn \(f(x) + x.f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^3} - x\). Giá trị tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{3}}^3 {\frac{{f(x)}}{{{x^2} + x}}} \,dx\) bằng

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm, liên tục trên R, nhận giá trị dương trên khoảng \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f(1)=1, f'(x) = f(x).(3{x^2} + 2mx + m)\) với m là tham số. Giá trị thực của tham số m để \(f(3) = {e^{ - 4}}\) là

Biết rằng đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2a{x^2} + b\) có một điểm cực trị là (1;2). Khi đó khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho bằng

Gọi S là diện tích của  hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {3^x},y = 0,x = 0,x = 2\). Mệnh đề  nào dưới đây đúng ?

Cho hàm số \(y = \frac{1}{{x + 1 + \ln x}}\) với x > 0. Khi đó \( - \frac{{y'}}{{{y^2}}}\) bằng

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;b) với a, b > 0 và a + b = 2. Gọi M là trung điểm của cạnh CC'.Thể tích của khối tứ diện BDA'M có giá trị lớn nhất bằng