Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\) trên đoạn [1;3]. Giá trị \(T = 2M + m\) bằng

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - {m^3} - m\), với m là tham  số. Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và I(2;- 2). Giá trị thực m < 1 để ba điểm I, A, B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng \(\sqrt 5 \) là

Họ các nguyên hàm của hàm số \(y = \cos x + x\) là

Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({4^{ab}}{.2^{a + b}} = \frac{{8(1 - ab)}}{{a + b}}\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = ab + 2a{b^2}\) bằng

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' tam giác A'BC có diện tích bằng 1 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng 2. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Cho hàm số \(f(x)\) có \(f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2}\), \(\forall x \in R\) . Số cực trị của hàm số đã cho là

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Cho biết B(2;3;7), D(4;1;3). Lập phương trình mặt phẳng (SAC) .

Gọi S là diện tích của  hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {3^x},y = 0,x = 0,x = 2\). Mệnh đề  nào dưới đây đúng ?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 \).  Gọi a là góc giữa SD và mặt phẳng (SAC). Giá trị \(\sin \alpha \) bằng

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm, liên tục trên R, nhận giá trị dương trên khoảng \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f(1)=1, f'(x) = f(x).(3{x^2} + 2mx + m)\) với m là tham số. Giá trị thực của tham số m để \(f(3) = {e^{ - 4}}\) là

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\left[ {\frac{1}{3}\,;\,3} \right]\) thỏa mãn \(f(x) + x.f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^3} - x\). Giá trị tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{3}}^3 {\frac{{f(x)}}{{{x^2} + x}}} \,dx\) bằng

Biết rằng đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2a{x^2} + b\) có một điểm cực trị là (1;2). Khi đó khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1;-1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa trục Ox là:

Cho hàm số \(y = \frac{1}{{x + 1 + \ln x}}\) với x > 0. Khi đó \( - \frac{{y'}}{{{y^2}}}\) bằng

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?