Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho x, y là các số thực lớn hơn 1 sao cho \({y^x}.{\left( {{e^x}} \right)^{{e^y}}} \ge {x^y}{\left( {{e^y}} \right)^{{e^x}}}.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _x}\sqrt {xy} + {\log _y}x\)
A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
B. \(2\sqrt 2 \)
C. \(\frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2}\)
D. \(\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\)
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
\(\begin{array}{l}
{y^x}.{\left( {{e^x}} \right)^{{e^y}}} \ge {x^y}{\left( {{e^y}} \right)^{{e^x}}}\\
\Leftrightarrow x\ln y + {e^x}.x \ge y\ln x + {e^x}.y\\
\Leftrightarrow x\left( {{e^y} + \ln y} \right) \ge y\left( {{e^x} + \ln x} \right)\\
\Leftrightarrow \frac{{{e^y} + \ln y}}{y} \ge \frac{{{e^x} + \ln x}}{x}
\end{array}\)
Xét hàm số \(f(t) = \frac{{{e^t} + \ln t}}{t}\) với t > 1
Ta có \(\begin{array}{l}
f'(t) = \frac{{\left( {{e^x} + \frac{1}{t}} \right)t - {e^t} - \ln t}}{{{t^2}}}\\
= \frac{{{e^t}\left( {t - 1} \right) + \left( {1 - \ln t} \right)}}{{{t^2}}}
\end{array}\)
Xét tiếp \(\begin{array}{l}
g(t) = t.{e^t} - {e^t} + 1 - \ln t\\
g'(t) = {e^t} - t{e^t} - {e^t} + 1 - \frac{1}{t} > 0\,\,\forall t > 1
\end{array}\)
Suy ra \(g(t) > g(1) = 1\)
Suy ra f'(t)>0 với mọi t >1 suy ra hàm số \(f(t) = \frac{{{e^t} + \ln t}}{t}\) đồng biến trên \((1;+\infty)\).
Từ \( \frac{{{e^y} + \ln y}}{y} \ge \frac{{{e^x} + \ln x}}{x}\) suy ra \(y \ge x >1\)
Xét \(P = {\log _x}\sqrt {xy} + {\log _y}x = 0 \Leftrightarrow t = \pm \sqrt 2 \) do đó \(t \ge 1\) nhận nghiệm \(t = \sqrt 2\)
Vậy \(P_{min} =P(\sqrt 2)= \frac{{2 + 2\sqrt 2 }}{2}\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho đa thức \(f\left( x \right) = {\left( {1 + 3x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\left( {n \in {N^*}} \right).\) Tìm hệ số \(a^3\) biết rằng \({a_1} + 2{a_2} + ... + n{a_n} = 49152n.\)
Cho tích phân \(\int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx} = \frac{b}{c} + a\ln 2\) với a là số thực, b và c là các số nguyên dương, đồng thời \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(P = 2a + 3b + c\)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y = {x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}.\)
Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển \({\left( {\frac{x}{2} + \frac{4}{x}} \right)^{18}}\) với \(x \ne 0\)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng \(a\sqrt 2 .\) Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo a.
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3 - 4x}}{{x - 2}}\) tại điểm có tung độ \(y = - \frac{7}{3}\)
Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường cong \(y = - {x^3} + 12x\) và \(y = - {x^2}\)
Tính giới hạn \(L = \lim \frac{{{n^3} - 2n}}{{3{n^2} + n - 2}}.\)
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx\) đạt cực đại tại x = 0
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có \(AB = 2a,AA' = a\sqrt 3 .\) Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C' theo a?
Cho chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lơn bằng 80cm, độ dài trục bé bằng 60cm. Tính thể tích V của trống (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
.png)
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, \(AA' = \frac{{3a}}{2}.\) Biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích V của khối lăng
trụ đó theo a.
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây Sai?
.PNG)
Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất P để hiệu số chấm trên các mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 2.
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2{m^2} + 1\) (m là tham số). Xác định khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O(0;0) đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên.
