Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiGọi \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}{e^{a\,x}}\left( {a \ne 0} \right),\) sao cho \(F\left( {\frac{1}{a}} \right) = F\left( 0 \right) + 1\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. \(0 < a \le 1.\)
B. \(a < - 2\)
C. \(a \ge 3\)
D. \(1 < a < 2\)
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
Ta có \(f\left( x \right) = {x^2}{e^{ax}} \Rightarrow F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {{x^2}{e^{ax}}dx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = {e^{ax}}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \frac{{{e^{ax}}}}{a}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow F\left( x \right) = {x^2}.\frac{{{e^{ax}}}}{a} - \frac{2}{a}\int\limits_{}^{} {x.{e^{ax}}dx} + C\)
Xét \({I_1} = \int\limits_{}^{} {x.{e^{ax}}dx} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = x\\db = {e^{ax}}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}da = dx\\b = \frac{{{e^{ax}}}}{a}\end{array} \right. \Rightarrow {I_1} = x\frac{{{e^{ax}}}}{a} - \frac{1}{a}\int\limits_{}^{} {{e^{ax}}dx} + C = x\frac{{{e^{ax}}}}{a} - \frac{{{e^{ax}}}}{{{a^2}}} + C\)
\( \Rightarrow F\left( x \right) = {x^2}.\frac{{{e^{ax}}}}{a} - \frac{2}{a}\left( {x\frac{{{e^{ax}}}}{a} - \frac{{{e^{ax}}}}{{{a^2}}}} \right) + C = \frac{{{x^2}{e^{ax}}}}{a} - \frac{{2x{e^{ax}}}}{{{a^2}}} + \frac{{2{e^{ax}}}}{{{a^3}}}\)
\( \Rightarrow F\left( 0 \right) + 1 = \frac{2}{{{a^3}}} + 1\) và \(F\left( {\frac{1}{a}} \right) = \frac{{\frac{1}{{{a^2}}}e}}{a} - \frac{{2\frac{1}{a}e}}{{{a^2}}} + \frac{{2e}}{{{a^3}}} = \frac{e}{{{a^3}}} - \frac{{2e}}{{{a^3}}} + \frac{{2e}}{{{a^3}}} = \frac{e}{{{a^3}}}\)
Theo bài ra ta có \(\frac{e}{{{a^3}}} = \frac{2}{{{a^3}}} + 1 = \frac{{2 + {a^3}}}{{{a^3}}} \Leftrightarrow a = \sqrt[3]{{e - 2}} \approx 0,9\).
Chọn A.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Tìm điều kiện cần và đủ của \(a,\,\,b,\,\,c\) để phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm?
Tập tất cả giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3x + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx\) đạt cực đại tại \(x = 0\)
Tìm nghiệm của phương trình \({\sin ^4}x - {\cos ^4}x = 0\).
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
.JPG)
Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 2019;2019} \right]\) của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {x - 3} }}{{{x^2} + x - m}}\) có đúng hai đường tiệm cận.
Tính tổng \(T\) của các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({e^x} + \left( {{m^2} - m} \right){e^{ - x}} = 2m\) có đúng hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn \(\frac{1}{{\log e}}.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây SAI?
.JPG)
Gọi \(l,h,\,r\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của một hình nón. Tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón đó theo \(l,h,\,r\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đường thẳng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) , đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\) , có \(AB = a,\,AD = 2a,BC = a.\) Biết rằng \(SA = a\sqrt 2 .\) Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.BCD\) theo \(a.\)
Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\) Biết rằng giá trị lớn nhất của \(F\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) là \(\sqrt 3 \). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'.\) Biết tích của khoảng cách từ điểm \(B'\) và điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {D'AC} \right)\) bằng \(6{a^2}\left( {a > 0} \right)\) . Giả sử thể tích của khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) là \(k{a^3}.\) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây Sai?
.JPG)
Tính giới hạn \(L = \lim \dfrac{{{n^3} - 2n}}{{3{n^2} + n - 2}}\).
Gọi \(m\) và \(M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x - \sqrt {4 - {x^2}} \). Tính tổng \(M + m\).
