Câu hỏi Đáp án 2 năm trước 38

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=75\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\left( {{m}^{2}}+2m \right)x-\left( {{m}^{2}}+4m-1 \right)y+2\left( 3m-1 \right)z+{{m}^{2}}+1=0\). A là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) đạt giá trị lớn nhất thì khối nón có đỉnh là A, đường tròn đáy là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) có thể tích bằng bao nhiêu?

A. \(128\pi \sqrt 3 \)

Đáp án chính xác ✅

B. \(75\pi \sqrt 3 \)

C. \(32\pi \sqrt 3 \)

D. \(64\pi \sqrt 3 \)

Lời giải của giáo viên

verified HocOn247.com

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 3;-2;1 \right)\); có bán kính \(R=5\sqrt{3}\).

Gọi \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\) là điểm cố định mà mặt phẳng \(\left( P \right)\) luôn đi qua. Ta có

\(\left( {{m}^{2}}+2m \right){{x}_{0}}-\left( {{m}^{2}}+4m-1 \right){{y}_{0}}+2(3m-1){{z}_{0}}+{{m}^{2}}+1=0\,\forall m\)

\(\Leftrightarrow \left( {{x}_{0}}-{{y}_{0}}+1 \right){{m}^{2}}+\left( 2{{x}_{0}}-4{{y}_{0}}+6{{z}_{0}} \right)m+{{y}_{0}}-2{{z}_{0}}+1=0\,\forall m\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_0} - {y_0} + 1 = 0}\\ {2{x_0} - 4{y_0} + 6{z_0}}\\ {{y_0} - 2{z_0} + 1 = 0} \end{array} = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_0} = - 2}\\ {{y_0} = - 1 \Rightarrow M( - 2; - 1;0)}\\ {{z_0} = 0} \end{array}} \right.} \right.\)

Ta có \(IM=3\sqrt{3}<R\) nên M nằm trong mặt cầu. Do đó \(\left( P \right)\) luôn cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn.

Ta có \(d\left( A,\left( P \right) \right)\le R+d\left( I,\left( P \right) \right)\le R+IM=5\sqrt{3}+3\sqrt{3}=8\sqrt{3}\).

Trong trường hợp này đường tròn đáy là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) có bán kình \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{M}^{2}}}=4\sqrt{3}\).

Khi đó \({{V}_{N}}=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=128\pi \sqrt{3}\).

CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1: Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với \(A\left( 1;1;1 \right); B\left( -1;1;0 \right); C\left( 1;3;2 \right)\). Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận vectơ \(\overrightarrow{a}\) nào dưới đây là một vectơ chỉ phương?

Xem lời giải » 2 năm trước 52
Câu 2: Trắc nghiệm

Cho \(\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}=10\). Khi đó \(\int\limits_{5}^{2}{\left[ 2-4f\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng

Xem lời giải » 2 năm trước 46
Câu 3: Trắc nghiệm

Số phức liên hợp của số phức \(z=-2-\sqrt{3}i\) là

Xem lời giải » 2 năm trước 45
Câu 4: Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua điểm \(M\left( 2;-3;4 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left( -2;4;1 \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Xem lời giải » 2 năm trước 44
Câu 5: Trắc nghiệm

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết SA=3a, tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Xem lời giải » 2 năm trước 44
Câu 6: Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1;2;1 \right)\) và đi qua điểm A(0;4;-1) là.

Xem lời giải » 2 năm trước 44
Câu 7: Trắc nghiệm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 1;0;1 \right)\) và \(B\left( 3;2;-1 \right)\).

Xem lời giải » 2 năm trước 43
Câu 8: Trắc nghiệm

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có \(AB=A{{A}^{'}}=a,AD=2a\), (tham khảo hình bên).

Góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng (ABCD) là \(\alpha \). Khi đó \(\tan \alpha \) bằng

Xem lời giải » 2 năm trước 42
Câu 9: Trắc nghiệm

Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đường tròn đáy r là:

Xem lời giải » 2 năm trước 42
Câu 10: Trắc nghiệm

Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{{125}}\)

Xem lời giải » 2 năm trước 41
Câu 11: Trắc nghiệm

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) thỏa mãn \({f}'\left( x \right)=\frac{x+1}{{{x}^{2}}}, f\left( -2 \right)=\frac{3}{2}\) và \(f\left( 2 \right)=2\ln 2-\frac{3}{2}\). Giá trị của biểu thức \(f\left( -1 \right)+f\left( 4 \right)\) bằng

Xem lời giải » 2 năm trước 41
Câu 12: Trắc nghiệm

Một hình trụ có bán kính đáy r=5cm, chiều cao h=7cm. Diện tích xung quanh của hình trụ này là:

Xem lời giải » 2 năm trước 40
Câu 13: Trắc nghiệm

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của y để phương trình \(\ln \left( {{\log }_{5}}y+\ln \left( {{\log }_{5}}y+\sin x \right) \right)=\sin x\) có nghiệm?

Xem lời giải » 2 năm trước 40
Câu 14: Trắc nghiệm

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong hình bên.

Biết f(x) đạt cực tiểu tại x=1 và f(x)+1 và f(x)-1 lần lượt chia hết cho \({{(x-1)}^{2}}\) và \({{(x+1)}^{2}}\). Gọi \({{S}_{1}},{{S}_{2}}\) là diện tích hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tính \({{S}_{1}}+{{S}_{2}}\).

Xem lời giải » 2 năm trước 39
Câu 15: Trắc nghiệm

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;2;-3 \right)\) và \(B\left( 3;-2;-1 \right)\). Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là:

Xem lời giải » 2 năm trước 39

📝 Đề thi liên quan

Xem thêm »
Xem thêm »

❓ Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »