Điểm \(M \in \left( {Oxy} \right)\) nên \(M\left( {x;y;0} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  = \left( {2 - x; - y;0} \right)\overrightarrow {;MB}  = \left( { - x;2 - y;0} \right);\overrightarrow {MC}  = \left( { - x; - y;2} \right)\)

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + {\overrightarrow {MC} ^2} = {x^2} - 2x + {y^2} - 2y + {x^2} + {y^2} + 4\)

Do đó \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + {\overrightarrow {MC} ^2} = 3 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} - 2x - 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - x - y + \frac{1}{2} = 0\).

Gọi \(\Delta\) là đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng

Phương trình tham số \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 + 2t\\
y = 5 + 3t\\
z =  - t
\end{array} \right.\).

Gọi H là giao điểm của (P) và \(\Delta\), suy ra tọa độ H là nghiệm hệ: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 + 2t\\
y = 5 + 3t\\
z =  - t\\
2x + 3y - z - 7 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow 2\left( {3 + 2t} \right) + 3\left( {5 + 3t} \right) + t - 7 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 2\\
z = 1\\
t =  - 1
\end{array} \right.\)

Ta có H là trung điểm của nên \(M\left( { - 1; - 1;2} \right)\).

Cách 1: Tự luận

Ta có điểm \(M \in d \Rightarrow M\left( { - 1 + 2t;1 - t;2t} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 2;6} \right);\overrightarrow {AM}  = \left( {2t - 2; - t - 4;2t} \right)\).

Nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} } \right] = \left( {2t + 24;8t - 12;2t - 12} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABM}} = \frac{1}{2}\sqrt {72{t^2} - 144t + 864}  = \frac{1}{2}\sqrt {72\left[ {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + 11} \right]}  \ge 3\sqrt {22} \) \(\Rightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {1;0;2} \right)\)

Cách 2: Trắc nghiệm

Thế 4 điểm ở 4 đáp án vào đường thẳng đã cho, ta loại đáp án A, B

Còn đáp án C, D Ta tính diện tích tam giác theo công thức \({S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} } \right]} \right|\) , ở phương án nàocho diện tích nhỏ nhất ta chọn được phương án C

Tọa có \(\overrightarrow {AH}  = \left( {x - 1;y + 1;z - 1} \right)\); \(\overrightarrow {BH}  = \left( {x - 2;y - 1;z + 2} \right)\).

Và \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2; - 1;3} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;1;0} \right);\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2; - 3} \right)\).

Để H là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\
\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\
\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH}  = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 2x - y + 3z = 2\\
 - x + y =  - 1\\
x + y + z = 1
\end{array} \right.\)

Vậy từ phương trình cuối của hệ ta có \(x + y + z = 1\).

Gọi I và I' lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và A'B'C'D'.

Khi đó I(2;-1;0) và I'(1;1;4).

Theo tính chất của hình hộp suy ra \(\overrightarrow {I'I}  = \overrightarrow {D'D} \) suy ra \(x=y=z=1\). Khi đó (x+2y-3z=0\)

 \(M \in Oz \Rightarrow M\left( {0,0,c} \right)\)

Theo ycbt , có \(MA = d\left[ {M,\left( \alpha  \right)} \right]\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \sqrt {4 + 9 + {{\left( {c - 4} \right)}^2}}  = \frac{{\left| {c - 17} \right|}}{{\sqrt {14} }}\\
 \Leftrightarrow 14\left( {{c^2} - 8c + 29} \right) = {\left( {c - 17} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow c = 3
\end{array}\)

Có \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right|\)

 \(=\left| {3\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right|\)

Tìm G sao cho: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \) hay G là trọng tâm \(\Delta ABC\). Khi đó G(2;1;3)  

Từ đó: \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|=\left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 3.MG\)

\(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi  nhỏ nhất . Mà M nằm trên mp (Oxy) vậy M là hình chiếu của G lên (Oxy) hay M(2;1;0)

\(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \Rightarrow \left( {{x_D} - 1;{y_D};{z_D} - 3} \right) = \left( { - 5; - 2;6} \right) \Rightarrow D\left( { - 4; - 2;9} \right)\)

\(\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB}  \Rightarrow \left( {{x_C} - 1;{y_C} + 1;{z_C} - 1} \right) = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow C\left( {2;0;2} \right)\)

\(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {CC'}  \Rightarrow \left( {{x_{A'}} - 1;{y_{A'}};{z_{A'}} - 1} \right) = \left( {2;5; - 7} \right) \Rightarrow A'\left( {3;5; - 6} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} - {x_A} = 2({x_B} - {x_M})\\
{y_M} - {y_A} = 2({y_B} - {y_M})\\
{z_M} - {z_A} = 2({z_B} - {z_M})
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3{x_M} = 2{x_B} + {x_A}\\
3{y_M} = 2{y_B} + {y_A}\\
3{z_M} = 2{z_B} + {z_A}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{2}{3}\\
{y_M} =  - \frac{4}{3}\\
{z_M} = 1
\end{array} \right.\)

\(MN = \sqrt {{{\left( {0 - 3} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2}}  = 5\)

Dễ thấy \(\left( \gamma  \right) \cap Oz = A\left( {0;0; - 3} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {BA}  = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {1; - 1;0} \right) \Rightarrow \cos \widehat {ABC} = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{BA.BC}} =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {ABC} = 135^\circ \)

- Phương pháp: Diện tích của tam giác khi cho biết tọa độ ba đỉnh A, B, C được xác định bởi công thức \(S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)

- Cách giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3;1} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {0; - 1;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2; - 2; - 2} \right)\)

\(S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}.\sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}}  = \sqrt 3 \)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2; - 3} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - 2;0} \right),\overrightarrow {AD}  = \left( {3; - 1; - 2} \right) \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{8}{3}\)

\(\left( \beta  \right)\parallel \left( \alpha  \right) \Rightarrow \left( \beta  \right):2x - y + 3z + m = 0,m \ne  - 1\), mà \(\left( \beta  \right)\) đi qua điểm M(1;- 3;2) nên \(2.1 - \left( { - 3} \right) + 3.2 + m = 0 \Leftrightarrow m =  - 11\)

Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua điểm I(2;0;2) có vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {AB}  = \left( {2;4; - 2} \right)\) nên có phương trình là \(\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 0} \right) - 1\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - z = 0\).

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;- 1;3) và vuông góc với đường thẳng BC nên nhận véctơ \(\overrightarrow {CB}  = \left( {2;3;6} \right)\) làm véctơ pháp tuyến. Khi đó phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

\(2\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y + 1} \right) + 6\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 6z - 19 = 0\)

Gọi M, N, P là hình chiếu của A lên các trục Ox, Oy, Oz \( \Rightarrow M\left( {1;0;0} \right),\,N\left( {0;2;0} \right),\,P\left( {0;0; - 5} \right)\).

Ta có phương trình mặt phẳng (MNP) là: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{ - 5}} = 1 \Leftrightarrow x + \frac{y}{2} - \frac{z}{5} = 1\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {0;1; - 1} \right);\overrightarrow {AC} \left( {1;3; - 2} \right)\)

Gọi \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ). Khi đó: \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1; - 1; - 1} \right) \Rightarrow \) loại A, C, D vì tọa độ vectơ pháp tuyến không cùng phương với \(\vec n\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt các trục tại các điểm $A\left( {12;0;0} \right),\,B\left( {0;8;0} \right),\,C\left( {0;0;6} \right)\) nên phương trình \(\left( \alpha  \right)\)  là \(\frac{x}{{12}} + \frac{y}{8} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 2x + 3y + 4z - 24 = 0\).

(Q) song song (P) nên (Q) có dạng: \(2x + y - 3z + D = 0\) với \(D \ne 2\).

Lấy \(M\left( { - 1;\;0;\;0} \right) \in \left( P \right)\).

Ta có: \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{11}}{{2\sqrt {14} }} \Leftrightarrow d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{11}}{{2\sqrt {14} }} \Leftrightarrow \frac{{\left| {D - 2} \right|}}{{\sqrt {14} }} = \frac{{11}}{{2\sqrt {14} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2D = 15\\
2D =  - 7
\end{array} \right.\)     

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
D = \frac{{15}}{2} \Rightarrow \left( Q \right):4x + 2y - 6z + 15 = 0\\
D =  - \frac{7}{2} \Rightarrow \left( Q \right): - 4x - 2y + 6z + 7 = 0
\end{array} \right.\)

Đường thẳng d đi M(1;- 3;0). Tọa độ điểm M chỉ thỏa mãn phương trình mặt phẳng trong phương án A và C .

Tính khoảng cách từ tâm I(1;2; - 2) của (S) và so sánh với bán kính R = 5 được đáp án C đúng.

Cách 1: Tự luận

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d. Gọi (P) là mặt phẳng qua A có VTPT là \(\overrightarrow {AH} \). Gọi K là hình chiếu của H trên mặt phẳng (Q) bất kỳ qua A và song song với d.

Ta có \(d\left( {d,\left( P \right)} \right) = AH \ge d\left( {d,\left( Q \right)} \right) = HK\). Suy ra mặt phẳng (P) là mặt phẳng cần tìm.

Tìm điểm \(H \in d \Rightarrow H = \left( {1 + 2t;t;1 + 3t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( {2t - 9;t - 2;3t + 2} \right)\).

Mà \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_d}}  = 2\left( {2t - 9} \right) + t - 2 + 3\left( {3t + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( { - 7; - 1;5} \right)\).

Suy ra mặt phẳng \(\left( P \right):7x + y - 5z - 77 = 0\)

Cách 2: Theo hướng trắc nghiệm.

 Đường thẳng (d) qua \({M_0}\left( {1;0;1} \right),\) có \(VTCP{\rm{ }}\overrightarrow u  = \left( {2;1;3} \right)\); Điểm A(10;2;- 1).

Thử 4 đáp án với ý điểm A(10;2;- 1) thuộc mặt phẳng ta loại đáp án C, D.

Tiếp theo với ý mặt phẳng \(\left( P \right)\parallel d \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\) loại đáp án B.

Ta chọn đáp án A.

Nhận xét cho đáp án nhiễu không tốt.

Phương trình \((\alpha )\) chứa giao tuyến của (P), (Q) có dạng:

\(m\left( {x - y + z - 4} \right) + n\left( {3x - y + z - 1} \right) = 0\) \(({m^2} + {n^2} \ne 0)\)

\((\alpha )\) qua M(2;1;- 1) nên: \(m\left( {2 - 1 + ( - 1) - 4} \right) + n\left( {3.2 - 1 + ( - 1) - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 4m + 3n = 0\)

Chọn \(m = 3 \Rightarrow n = 4\).Vậy \((\alpha ):3\left( {x - y + z - 4} \right) + 4\left( {3x - y + z - 1} \right) = 0 \Rightarrow 15x - 7y + 7z - 16 = 0\)

Tứ diện OABC vuông tại O nên M là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi \(OM \bot \left( {ABC} \right)\).

Vậy mặt phẳng có VTPT là \(\overrightarrow {OM}  = \left( {3;2;1} \right)\).

Khi đó phương trình mặt phẳng sẽ là \(3\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + z - 1 = 0\) hay \(3x + 2x + z - 14 = 0\).

Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}}\)

( H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O trong tam giác OAB)

Khi đó \(\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{O{N^2}}}\) ( N là chân đường cao kẻ từ đỉnh O trong tam giác COH)

Để \(\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\frac{1}{{O{N^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất hay chính là độ dài ON phải lớn nhất. Mà ta có N là chân đường cao kẻ từ đỉnh O trong tam giác COH nên \(ON \bot \left( {ABC} \right)\) do đó \(ON \le OM\).

Vậy ON muốn lớn nhất thì N trùng với M, khi đó suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow {OM}  = \left( {1;2;1} \right)\).

Vậy phương trình (P) là: \(\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0\) hay \(\left( P \right):x + 2y + z - 6 = 0\)

Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại 3 điểm A, B, C nên ta có tọa độ \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\)

Vì theo giả thiết G là trọng tâm tam giác ABC, G(1;2;3) nên ta có \(a = 3;b = 6;c = 9\)

Suy ra phương trình mặt phẳng (P) là \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1\).

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) với \(a, b, c>0\). Theo đề bài ta có : \(\frac{8}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1\). Cần tìm giá trị nhỏ nhất của \({a^2} + {b^2} + {c^2}\).

Ta có

Mặt khác \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {4 + 1 + 1} \right) \ge {\left( {a.2 + b.1 + c.1} \right)^2} \Rightarrow 6.\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {2a + b + c} \right)^2} \)

\(\begin{array}{c}
\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {4 + 1 + 1} \right)}  \ge \left( {a.2 + b.1 + c.1} \right)\\
 \ge \left( {2a + b + c} \right)\left( {\frac{8}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\\
 \ge {\left( {4 + 1 + 1} \right)^2} = 36
\end{array}\)

Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {6^3}\). Dấu " = " xảy ra khi \(\frac{{{a^2}}}{4} = {b^2} = {c^2} \Rightarrow a = 2b = 2c.\)

Vậy \({a^2} + {b^2} + {c^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 216 khi \(a = 12,b = c = 6\).

Vậy phương trình mặt phẳng là : \(\frac{x}{{12}} + \frac{y}{6} + \frac{z}{6} = 1\) hay \(x + 2y + 2z - 12 = 0\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3;4} \right) \Rightarrow \left( P \right):2x - 3y + 4z + m = 0\). Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox, Oy, Oz; suy ra \(M\left( { - \frac{m}{2};0;0} \right),N\left( {0;\frac{m}{3};0} \right),P\left( {0;0; - \frac{m}{4}} \right)\).

Ta có thể tích tứ diện \({V_{O.MNP}} = \frac{1}{6}\left| {\frac{{{m^3}}}{{24}}} \right| = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m =  \pm 6.\)

Gọi \(\Delta\) là giao tuyến giữa (P) và (Q). Khi đó, góc giữa (P), (Q) nhỏ nhất khi chỉ khi \(\Delta  \bot d\).

Đường thẳng d đi qua điểm M(-1;-1;3) và có vectơ chỉ phương là \({\vec u_d} = \left( {2;1;1} \right)\).

Vectơ chỉ phương của \(\Delta\) là \({\vec u_\Delta } = \vec n \wedge {\vec u_d} = \left( {3; - 3; - 3} \right)\).

Vectơ pháp tuyến của  là \({\vec n_Q} = {\vec u_d} \wedge {\vec u_\Delta } = \left( {0;9; - 9} \right)\)

Mặt phẳng (Q) đi qua M(-1;-1;3) và nhận vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {0;1; - 1} \right)\) có phương trình \(y - z + 4 = 0\)

\(d:\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{qua }}A\left( {1;2;1} \right)\\
VTCP{\rm{ }}\vec u = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 4; - 4; - 4} \right)
\end{array} \right.\)

Nên có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}.\)

Ta có \({\overrightarrow u _{{d_1}}} = \left( {2; - 1;1} \right)\)

Đáp án B có \({\overrightarrow u _\Delta } = \left( {1; - 3; - 5} \right)\)

Nhận thấy \({\overrightarrow u _{{d_1}}}.{\overrightarrow u _\Delta } = 2.1 + 1.3 - 1.5 = 0 \Rightarrow {d_1} \bot \Delta \)

Các đáp án khác không thỏa mãn điều kiện vuông góc.

Tâm \(I = \left( {3; - 1;2} \right),R = \sqrt {9 + 1 + 4 + 2}  = 4\)

Tâm I của mặt cầu là trung điểm của MN, ta có I(1;1;1).

Bán kính mặt cầu: \(r = IM = \sqrt {62} \).

Phương trình mặt cầu là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 62\).

Tâm \(I \in Ox \Rightarrow I\left( {x;0;0} \right)\), (S) đi qua A, B nên:

\(IA = IB \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 + 4 = {\left( {x - 3} \right)^2} + 0 + 1 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow I\left( {1;0;0} \right)\)

Bán kính của (S) là \(r = IA = \sqrt 5 \)

Phương trình của mặt cầu (S) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 5\)

\(\left( I \right) \in Oxy \Rightarrow I\left( {a;b;0} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
IA = IB\\
IA = IC
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} + 16 = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {3 + b} \right)^2} + 1\\
{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} + 16 = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} + 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 2\\
b = 1
\end{array} \right.\)

Bán kính mặt mặt cầu là: \(R = d(I,(\alpha )) = \frac{{\left| {12.4 - 5.( - 2) - 19} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{( - 5)}^2}} }} = 3\).

Gọi mặt cầu cần tìm là (S).

Ta có (S) là mặt cầu có tâm I(1;2;- 1) và bán kính R.

Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng \((P):x - 2y - 2z - 8 = 0\) nên ta có

\(R = d(I;(P)) = \frac{{\left| {1 - 2.2 - 2.( - 1) - 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 3\)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).

Mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right):y = 0\).

\(I \in \Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{2} \Rightarrow I\left( {t; - 3 + t;2t} \right)\)

Gọi H là hình chiếu của I lên mặt phẳng (Oxz); \(R, r\) lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn giao tuyến. Theo bài ta có \(IH = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  = \sqrt {8 - 4}  = 2\)

 \( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 3 + t} \right|}}{1} = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\\
{t = 5}
\end{array}} \right.\).

Với \(t = 1 \Rightarrow I\left( {1; - 2;2} \right)\), với \(t = 5 \Rightarrow I\left( {5;2;10} \right)\).