Ta có: \({u_6} = {u_1} + 5d \Leftrightarrow 27 =  - 3 + 5d \Leftrightarrow d = 6\) 

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị hàm số xác định các điểm cực trị của hàm số.

Cách giải:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1, giá trị cực tiểu là \(y_{CT}=-2\)  

\({\log _3}\frac{3}{{{a^2}}} = {\log _3}3 - 2{\log _3}a = 1 - 2{\log _3}a\)

ĐKXĐ: x > 0 

Ta có: \(\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)\left( {{{\log }_2}x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {{x^2} + 2x - 3} \right) = 0\\
\left( {{{\log }_2}x - 3} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\
x =  - 3\,\,\,\left( {ktm} \right)\,\\
x = 8\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 8
\end{array} \right.\) 

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là: 1 + 8 = 9

\(\int\limits_2^7 {f\left( x \right)dx = \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx + \int\limits_5^7 {f\left( x \right)dx = 3 + 9 = 12} } } \)

Quan sát đồ thị hàm số trên [- 1;3].

Quan sát đồ thị hàm số ta có: \(m = f\left( 2 \right) =  - 2,\,\,\,M = f\left( 3 \right) = 3 \Rightarrow P = m.M =  - 6\).

Phương pháp:

Xác định khoảng mà \(f'\left( x \right) \le 0\).

Cách giải:

Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên khoảng (- 1;2).

Phương pháp:                                                                                      

Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản \(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C} \) 

Cách giải:

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} + x\) là: \(\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \frac{1}{2}{x^2} + C\) 

Số phức \(z = 2 + i \Rightarrow \overline z  = 2 - i\)

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là: x = 0  

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: đây không phải đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương và hàm số bậc 2.

\( \Rightarrow \) Loại phương án C và D.

Khi \(x \to  + \infty  \Rightarrow \) thì \(y \to  + \infty  \Rightarrow \) Hệ số a > 0 \( \Rightarrow \) Loại phương án B, chọn phương án A.

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào phương trình (P), xác định điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình.

Cách giải:

Ta có: \(2.1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) - 1 = 0 \Rightarrow Q\left( {1; - 3; - 4} \right) \in \left( P \right)\) 

Phương pháp:

Độ dài đoạn thẳng AB: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \) 

Cách giải:

A(1;- 1;2) và \(B\left( {2;1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 \) 

Phương pháp:       

Diện tích của mặt cầu có bán kính R là: \(4\pi {R^2}\) 

Cách giải:

Diện tích của mặt cầu có đường kính 3m là: \(4\pi {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = 9\pi \left( {{m^2}} \right)\) 

Mỗi chữ số x, y, z  đều có 5 cách chọn suy ra số phần tử của tập hợp S là: 5³

Độ dài cạnh AD là: \(AD = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\) 

Thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là:

\(V = AB.AD.AA' = 3.4.5 = 60\) 

Ta có:

\({\log _2}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = 2x + 1 \Leftrightarrow {3.2^x} - 1 = {2^{2x + 1}} \Leftrightarrow {2.2^{2x}} - {3.2^x} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{2^x} = 1\\
{2^x} = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  - 1
\end{array} \right.\) 

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là: \(0 + \left( { - 1} \right) =  - 1\) 

\(\left( \alpha  \right):x + 2y + 3z - 6 = 0\) có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {1;2;3} \right)\) 

\(\Delta :\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1}\) có 1 VTCP \(\overrightarrow u  = \left( { - 1; - 1;1} \right)\) 

Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow u  =  - 1 - 2 + 3 = 0 \Rightarrow \Delta  \subset \left( \alpha  \right)\) hoặc \(\Delta //\left( \alpha  \right)\) 

Lấy \(A\left( { - 1; - 1;3} \right) \in \Delta \). Ta có: \(\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 1} \right) + 3.3 - 6 = 0\): đúng \( \Rightarrow A\left( { - 1; - 1;3} \right) \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow \Delta  \subset \left( \alpha  \right)\)

\(F\left( x \right) = \int {x{e^{ - x}}dx}  =  - \int {xd\left( {{e^{ - x}}} \right) =  - x{e^{ - x}} + } \int {{e^{ - x}}dx}  =  - x{e^{ - x}} - {e^{ - x}} + C\) 

Mà \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow  - 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 2 \Rightarrow F\left( x \right) =  - x{e^{ - x}} - {e^{ - x}} + 2 =  - \left( {x + 1} \right){e^{ - x}} + 2\) 

\(r = R - b = 1 - 0,05 = 0,95\left( m \right)\)

Dung tích của bể là: \(V = \pi {r^2}h = \pi .0,{95^2}.1,5 \approx 4,25\left( {{m^3}} \right)\)

Độ dài đường sinh là: \(l = \sqrt {{r^2} + {h^2}}  = \sqrt {{6^2} + {8^2}}  = 10\left( {cm} \right)\) 

Diện tích xung quanh của hình nón: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .6.10 = 60\pi \left( {c{m^2}} \right)\)  

Gọi H là trung điểm của AB. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\
\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\
SH \subset \left( {SAB} \right)\\
SH \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\) 

\(\Delta ABC\) vuông tại B

\( \Rightarrow BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {3{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 2 ,{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}.a.a\sqrt 2  = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\) 

\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SH = \frac{{AB.\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) 

Thể tích khối chóp S.ABC là: \(V = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\) 

\(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x} \Rightarrow y' = \left( {2x - 2} \right){e^x} + \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x} = {x^2}{e^x}\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^3} - 1} \right)\) có nghiệm: x = - 2 (nghiệm đơn), x = 2 (nghiệm đơn), x = 1 (nghiệm kép)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f(x)\) có 2 điểm cực trị.

\(z_1, z_2\) là nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 4 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = 2\\
{z_1}{z_2} = 4
\end{array} \right.\) 

\(P = \frac{{z_1^2}}{{{z_2}}} + \frac{{z_2^2}}{{{z_1}}} = \frac{{z_1^3 + z_2^3}}{{{z_1}{z_2}}} = \frac{{{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^3} - 3{z_1}{z_2}\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}}{{{z_1}{z_2}}} = \frac{{{2^3} - 3.4.2}}{4} =  - 4\) 

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. I là trung điểm của BC. Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot OI\\
BC \bot SO
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOI} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\
\left( {SOI} \right) \bot BC
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SI;OI} \right) = SIO
\end{array}\) 

\(\Delta SOI\) vuông tại O \( \Rightarrow \tan SIO = \frac{{SO}}{{OI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{a}{2}}} = \sqrt 3  \Rightarrow SIO = {60^0}\) 

\( \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = {60^0}\) 

Số nghiệm dương phân biệt của phương trình \(2f\left( x \right) + 7 = 0\) bằng số giao điểm có hoành độ dương của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và đường thẳng \(y =  - \frac{7}{2}\) và bằng 4.

Ta có: \(b = {\log _2}9 = 2{\log _2}3 \Rightarrow {\log _2}3 = \frac{1}{2}b\) 

\(P = {\log _2}\frac{{40}}{3} = {\log _2}40 - {\log _2}3 = {\log _2}8 + {\log _2}5 - {\log _2}3 = 3 + a - \frac{1}{2}b\)  

Mặt cầu có đường kính AB có tâm I(0;0;1) là trung điểm của AB và bán kính

\(R = IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 \), có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\)   

Giả sử phương trình đường Parabol đó là: \(y = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right)\). Parabol đi qua các điểm \(\left( {0;4} \right),\left( { - 2;0} \right),\left( {2;0} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
4 = 0 + 0 + c\\
0 = 4a + 2b + c\\
0 = 4a - 2b + c
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
b = 0\\
c = 4
\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):y =  - {x^2} + 4\) 

Diện tích cần tìm là: \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| { - {x^2} + 4} \right|dx = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right)} } dx = \left( { - \frac{1}{3}{x^3} + 4x} \right)\left| \begin{array}{l}
^2\\
_{ - 2}
\end{array} \right. = \frac{{32}}{3}\)   

Ta có: \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 4x}} < 8 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 4x}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 3}} \Leftrightarrow {x^2} - 4x >  - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 3\\
x < 1
\end{array} \right.\) 

Tập nghiệm S của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 4x}} < 8\) là: \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\) 

Đồ thị hàm số có 1 TCĐ là x = 0 (do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) =  - \infty \)) và 2 TCN là \(y = 2,\,\,y = 3\) 

(do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = 3,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 2\,\))

Giả sử \(z = a + bi,\,\,\,\left( {a,b \in R} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( {1 + i} \right)z + \left( {2 - i} \right)\overline z  = 13 + 2i \Leftrightarrow \left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) + \left( {2 - i} \right)\left( {a - bi} \right) = 13 + 2i\\
 \Leftrightarrow a + bi + ai - b + 2a - 2bi - ai - b = 13 + 2i\\
 \Leftrightarrow 3a - 2b - bi = 13 + 2i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a - 2b = 13\\
 - b = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b =  - 2
\end{array} \right.
\end{array}\) 

Giả sử \(z = a + bi,\,\,\,\left( {a,b \in R} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( {z - 2 + i} \right)\left( {\overline z  - 2 - i} \right) = 25 \Leftrightarrow \left( {a + bi - 2 + i} \right)\left( {a - bi - 2 - i} \right) = 25\\
 \Leftrightarrow \left( {a - 2 + \left( {b + 1} \right)i} \right)\left( {a - 2 - \left( {b + 1} \right)i} \right) = 25
\end{array}\) 

\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = 25 \Rightarrow \) Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức z là đường tròn tâm A(2;- 1), bán kính 5

Ta có: \(w = 2\overline z  - 2 + 3i \Rightarrow \) Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w là ảnh của đường tròn $\left( {A\left( {2; - 1} \right);5} \right)\) lần lượt qua các phép biến hình sau:

+) Phép đối xứng qua Ox

+) Phép vị tự tâm O tỉ số 2

+) Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \left( { - 2;3} \right)\) 

Ta có \(A\left( {2; - 1} \right){D_{\left( {Ox} \right)}}B\left( {2;1} \right){V_{_{\left( {O\left( {0;0} \right);k = 2} \right)}}}C\left( {4;2} \right){T_{\overrightarrow u \left( { - 2;3} \right)}}D\left( {2;5} \right)\) 

Do đó: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w là đường tròn tâm D(2;5), bán kính R = 2.5 = 10 

\( \Rightarrow a = 2,b = 5,c = 10 \Rightarrow a + b + c = 17\) 

Xét hàm số \(y = {x^2} - 2x\) trên \(\left[ { - \frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right]\), ta có: \(y' = 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) 

Bảng biến thiên:

Phương trình \(f\left( {{x^2} - 2x} \right) = m\) có đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right]\) khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại 2 điểm phân biệt thuộc \(\left( { - 1;\frac{{21}}{4}} \right]\) 

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 5\\
m = f\left( 4 \right) \in \left( {4;5} \right)
\end{array} \right.\). Mà \(m \in Z \Rightarrow m = 5\): có 1 giá trị của m thỏa mãn. 

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{\frac{1}{2}\left( {2x + 1} \right) - \frac{1}{2}}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}} } dx = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{1}{{2x + 1}}dx - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}dx} } \\
 = \left( {\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\ln \left| {2x + 1} \right| - \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\left( { - 1} \right).\frac{1}{{2x + 1}}} \right)\left| \begin{array}{l}
^1\\
_0
\end{array} \right.\\
 = \left( {\frac{1}{4}.\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{1}{4}.\frac{1}{{2x + 1}}} \right)\left| \begin{array}{l}
^1\\
_0
\end{array} \right. = \frac{1}{4}\ln 3 - \frac{1}{6}\\
 \Rightarrow a =  - \frac{1}{6};b = 0;c = \frac{1}{4} \Rightarrow a + b + c = \frac{1}{{12}}
\end{array}\) 

Ta có: \(\left| {z + 2 - 2i} \right| = \left| {z - 4i} \right| \Leftrightarrow \left| {z - \left( { - 2 + 2i} \right)} \right| = \left| {z - \left( {4i} \right)} \right| \Rightarrow \) Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường trung trực của đoạn thẳng AB, với \(A\left( { - 2;2} \right),\,\,B\left( {0;4} \right)\).

\(\overrightarrow {AB} =\left( {2;2} \right)\), trung điểm I của AB là \(I\left( { - 1;3} \right) \Rightarrow \) Phương trình đường trung thực của AB là:

\(2\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\,\,\,\,\left( d \right)\) 

\(w = iz + 1 \Rightarrow \) Điểm biểu diễn N của w là ảnh của M qua các phép biến hình sau:

+) Phép quay tâm O góc quay 90 độ.

+) Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \left( {1;0} \right)\).

Qua Phép quay tâm O góc quay 90 độ: Đường thẳng (d) biến thành đường thẳng \(x - y + 2 = 0\,\,\,\,\left( {d'} \right)\)  

Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \left( {1;0} \right)\): Đường thẳng (d') biến thành đường thẳng \(x - y + 3 = 0\,\,\,\,\left( {d''} \right)\) 

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường thẳng \(\left( {d''} \right):x - y + 3 = 0\) 

Giá trị nhỏ nhất của \(\left| w \right|\) bằng \(d\left( {O;d''} \right) = \frac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)     

\(f'\left( x \right) =  - {x^2} - 4,\,\,\forall x \in R \Rightarrow f'\left( x \right) < 0,\,\forall x \in R \Rightarrow \) Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên R 

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) 

Bất phương trình \(f(x)<m\) có nghiệm thuộc khoảng (-1;1) khi và chỉ khi \(m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) \Leftrightarrow m \ge f\left( 1 \right)\)      

Ta có: \(g\left( x \right) = f\left( {3 - {x^2}} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) =  - 2x.f'\left( {3 - {x^2}} \right)\) 

\(f'\left( {3 - {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3 - {x^2} =  - 6\\
3 - {x^2} =  - 1\\
3 - {x^2} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 9\\
{x^2} = 4\\
{x^2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  \pm 3\\
x =  \pm 2\\
x =  \pm 1
\end{array} \right.\) 

Bảng xét dấu \(g'(x)\):

Suy ra hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {3 - {x^2}} \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 3; - 2} \right),\left( { - 1;0} \right),\left( {1;2} \right),\left( {3; + \infty } \right)\)

Ta gắn hệ trục Oxy như hình vẽ:

Giả sử phương trình đường parabol là: \(y = a{x^2} + bx + c,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
c = 0\\
10 = 225a + 15b\\
10 = 225a - 15b
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c = 0\\
a = \frac{2}{{45}}\\
b = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):y = \frac{2}{{45}}{x^2}\) 

Diện tích phần sân tô đậm là:

\(S = 2.\int\limits_{ - 15}^{15} {\frac{2}{{45}}{x^2}dx = 2.} \frac{2}{{45}}.\frac{1}{3}{x^3}\left| \begin{array}{l}
^{15}\\
_{ - 15}
\end{array} \right. = \frac{4}{{135}}{x^3}\left| \begin{array}{l}
^{15}\\
_{ - 15}
\end{array} \right. = \frac{4}{{135}}{.15^3}.2 = 200\left( {{m^2}} \right)\) 

Diện tích phần còn lại là: \(30.50 - 200 = 1300\left( {{m^2}} \right)\) 

Ông An phải trả số tiền là: 200. 130 000+ 1300. 90 000= 26 000 000+ 117 000 000= 143 000 000 (đồng)

Số tháng kể từ ngày 01 tháng 01 năm 2019 đến ngày 01 tháng 01 năm 2020 là: 12 tháng

Số tiền tiết kiệm của ông An còn lại:

\({A_{12}} = 800.{\left( {1 + 0,5\% } \right)^{12}} - 6{\left( {1 + 0,5\% } \right)^{11}} = 800.{\left( {1,005} \right)^{12}} - 72\) (triệu đồng).

Chia 12 học sinh nam và nữ làm 2 nhóm, mỗi nhóm đều có 3 nam 3 nữ: có \({\left( {C_6^3} \right)^2} = 400\) (cách)

Hoán vị nam và nữ vào đúng vị trí, có: \({\left( {3!} \right)^4}.2 = 2592\) (cách)

Số cách để hai học sinh ngồi đối diện nhau và cạnh nhau luôn khác giới là: 400.2592 = 1036800 (cách)

Số phần tử của không gian mẫu là: 12! = 479001600

Xác suất cần tìm là: \(\frac{{1036800}}{{479001600}} = \frac{1}{{462}}\) 

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Kẻ HM vuông góc với SN tại H.

Ta có: \(AM//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right)\) 

\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SM \bot AB,SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) 

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\
\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\) 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
CD \bot MN\\
CD \bot SM
\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow CD \bot HM\) 

Mà \(HM \bot SN \Rightarrow  \Rightarrow HM \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right) = HM \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = HM\) 

\(\Delta SMN\) vuông tại \(M \Rightarrow \frac{1}{{H{M^2}}} = \frac{1}{{S{M^2}}} + \frac{1}{{M{N^2}}} = \frac{1}{{\frac{3}{4}{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow HM = \sqrt {\frac{3}{7}} a\)  

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \sqrt {\frac{3}{7}} a = \frac{{\sqrt {21} }}{7}a\) 

\(y =  - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - mx + 1 \Rightarrow y' =  - {x^2} + 2x - m\)

Để hàm số \(y =  - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - mx + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì  \( - {x^2} + 2x - m \le 0,\,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\Delta ' \le 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
{x_1} < {x_2} \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\Delta ' \le 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
S < 0\\
P \ge 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - m \le 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
1 - m > 0\\
2 < 0\\
m \ge 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left[ {1; + \infty } \right)\) 

Gọi \(A = d \cap \left( P \right) \Rightarrow A \in \Delta \) 

Giả sử \(A\left( {1 + 2t;1 + 2t;t} \right)\) 

Do \(A \in \left( P \right) \Rightarrow \left( {1 + 2t} \right) + 2.\left( {1 + 2t} \right) + 2.t + 5 = 0 \Leftrightarrow 8t + 8 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \Rightarrow A\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\) 

Lấy \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right),\,\,\left( {\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0 } \right)\) là 1 VTCP của .

Do \(\Delta\) nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với d nên: \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow u .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = 0\\
\overrightarrow u .\overrightarrow {{u_d}}  = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + 2b + 2c = 0\\
2a + 2b + c = 0
\end{array} \right.\) 

Cho \(c =  - 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + 2b = 4\\
2a + 2b = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 2\\
b = 3
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u \left( { - 2;3; - 2} \right)\)   

Phương trình đường thẳng \(\Delta\) là: \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{2}\) 

Đặt \(t = {x^2} - 2y\). Phương trình đã cho trở thành:

\(4 + {9.3^t} = \left( {4 + {9^t}} \right){.49.7^{ - t}} \Leftrightarrow {4.7^t} + {9.3^t}{.7^t} - 49.4 - {49.9^t} = 0\) 

\( \Leftrightarrow 4.\left( {{7^t} - 49} \right) + {3^t}\left( {{{9.7}^t} - {{49.3}^t}} \right) = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) 

Nhận xét:

+) t = 2 là nghiệm của (1)

+) \(t > 2 \Rightarrow {7^t} - 49 > 0\) và \({9.7^t} - {49.3^t} > 0\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\,\frac{{{{9.7}^t}}}{{{{49.3}^t}}} = {{\left( {\frac{7}{3}} \right)}^{t - 2}} > 1} \right) \Rightarrow VT > 0:\) Phương trình vô nghiệm

+) \(t < 2 \Rightarrow {7^t} - 49 < 0\) và \({9.7^t} - {49.3^t} < 0\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\,\frac{{{{9.7}^t}}}{{{{49.3}^t}}} = {{\left( {\frac{7}{3}} \right)}^{t - 2}} < 1} \right) \Rightarrow VT < 0:\) Phương trình vô nghiệm

Vậy, (1) có nghiệm duy nhất là \(t = 2 \Rightarrow {x^2} - 2y = 2 \Leftrightarrow 2y = {x^2} - 2\) 

Khi đó, \(P = \frac{{x + 2y + 18}}{x} = \frac{{x + {x^2} - 2 + 18}}{x} = x + \frac{{16}}{x} + 1 \ge 2\sqrt {x.\frac{{16}}{x}}  + 1 = 9,\,\,\left( {x > 0} \right)\) 

\( \Rightarrow MinP = 9\) khi và chỉ khi x = 4, y = 7.

Phương trình \(f\left( {x - 1} \right) = \frac{m}{{{x^2} - 6x + 12}}\) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn [2;4] 

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = \frac{m}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3}}\) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn [1;3] 

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right).\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3} \right) = m\) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn [1;3]

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right).\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3} \right)\) trên [1;3] có:

\(g'\left( x \right) = f'\left( x \right).\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3} \right) + 2\left( {x - 2} \right).f\left( x \right)\)  có nghiệm x = 2 

Với \(1 \le x < 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}
f'\left( x \right) > 0\\
{\left( {x - 2} \right)^2} + 3 > 0\\
x - 2 < 0\\
f\left( x \right) < 0
\end{array} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) > 0\) 

Với \(2 < x \le 3\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}
f'\left( x \right) < 0\\
{\left( {x - 2} \right)^2} + 3 > 0\\
x - 2 > 0\\
f\left( x \right) < 0
\end{array} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\)

Ta có bảng biến thiên của g(x) như sau:

Vậy để phương trình \(f\left( x \right).\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3} \right) = m\) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn [1;3] thì \(m \in \left[ { - 12; - 3} \right)\) 

\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 12; - 11;...; - 4} \right\}\) 

Tổng các giá trị của m thỏa mãn là: \( - 12 - 11 - ... - 4 =  - 9.16:2 =  - 72\) 

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P) \( \Rightarrow AMH = BMK\) 

Ta có: \(AH = d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {4 + 2 - 2 + 4} \right|}}{3} = \frac{8}{3};BK = d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {6 - 4 - 2 + 4} \right|}}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow AH = 2.BK\) 

\( \Rightarrow HM = 2.MK\) (do \(\Delta AHM\) đồng dạng với \(\Delta BKM\) (g.g))

Lấy I đối xứng H qua K; E thuộc đoạn HK sao cho HE = 2KE; F thuộc đoạn KI sao cho FI = 2KF.

Khi đó: A, B, I, H, E, K, F đều là các điểm cố định.

* Ta chứng minh: M di chuyển trên đường tròn tâm F, đường kính IE:

Gọi N là điểm đối xứng của M qua K \( \Rightarrow \Delta HMN\) cân tại M

E nằm trên trung tuyến HK và \(HE = \frac{2}{3}HK \Rightarrow \) E là trọng tâm \(\Delta HMN\) 

\( \Rightarrow ME \bot HN\) 

Mà \(HN//MI \Rightarrow ME \bot MI\) 

Dễ dàng chứng minh F là trung điểm của EI

Suy ra M di chuyển trên đường tròn tâm F đường kính EI (thuộc mặt phẳng (P))

* Tìm tọa độ điểm F:

Phương trình đường cao AH là: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2t\\
y = 1 + 2t\\
z = 2 - t
\end{array} \right.\) 

Gia sử \(H\left( {2 + 2{t_1};1 + 2{t_1};2 - {t_1}} \right).\,\,\,H \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {2 + 2{t_1}} \right) + 2\left( {1 + 2{t_1}} \right) - \left( {2 - {t_1}} \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow {t_1} = \frac{8}{9}\) 

\( \Rightarrow H\left( {\frac{2}{9}; - \frac{7}{9};\frac{{26}}{9}} \right)\) 

Phương trình đường cao BK là: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 + 2t\\
y =  - 2 + 2t\\
z = 2 - t
\end{array} \right.\) 

Giả sử \(K\left( {3 + 2{t_2}; - 2 + 2{t_2};2 - {t_2}} \right)\) 

\(K \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {3 + 2{t_2}} \right) + 2\left( { - 2 + 2{t_2}} \right) - \left( {2 - {t_2}} \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow {t_2} =  - \frac{4}{9} \Rightarrow K\left( {\frac{{19}}{9};\frac{{ - 26}}{9};\frac{{22}}{9}} \right)\) 

Ta có: \(\overrightarrow {HF}  = \frac{4}{3}\overrightarrow {HK}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_F} - \frac{2}{9} = \frac{4}{3}.\frac{{17}}{9}\\
{y_F} + \frac{7}{9} = \frac{4}{3}.\frac{{ - 19}}{9}\\
{z_F} - \frac{{26}}{9} = \frac{4}{3}.\frac{{ - 4}}{9}
\end{array} \right. \Rightarrow F\left( {\frac{{74}}{{27}};\frac{{ - 97}}{{27}};\frac{{62}}{{27}}} \right)\) 

Giả sử \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là điểm thỏa mãn:

\(2\overrightarrow {IA}  - 7\overrightarrow {IB}  + 4\overrightarrow {IC}  = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\left( {1 - {x_0}} \right) - 7\left( { - 1 - {x_0}} \right) + 4\left( {3 - {x_0}} \right) = 0\\
2\left( {1 - {y_0}} \right) - 7\left( {2 - {y_0}} \right) + 4\left( { - 1 - {y_0}} \right) = 0\\
2\left( { - 1 - {z_0}} \right) - 7\left( { - {z_0}} \right) + 4\left( { - 2 - {z_0}} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} =  - 21\\
{y_0} = 16\\
{z_0} = 10
\end{array} \right.\) 

\( \Rightarrow I\left( { - 21;16;10} \right) \in \left( S \right),\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\,{{\left( { - 21 - 1} \right)}^2} + {{16}^2} + {{\left( {10 + 1} \right)}^2} = 861} \right)\) 

Khi đó,

\(\begin{array}{l}
P = 2M{A^2} - 7M{B^2} + 4M{C^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} - 7{\overrightarrow {MB} ^2} + 4{\overrightarrow {MC} ^2}\\
 = 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - 7{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 4{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\
 =  - M{I^2} + 2.\overrightarrow {MI} .\left( {2\overrightarrow {IA}  - 7\overrightarrow {IB}  + 4\overrightarrow {IC} } \right) + 2I{A^2} - 7I{B^2} + 4I{C^2}\\
 =  - M{I^2} + 2I{A^2} - 7I{B^2} + 4I{C^2}
\end{array}\) 

Để \(P = 2M{A^2} - 7M{B^2} + 4M{C^2}\) đạt GTNN thì MI có độ dài lớn nhất

\( \Leftrightarrow MI\) là đường kính \( \Leftrightarrow \) M là ddierm đối xứng của \(I\left( { - 21;16;10} \right)\) qua tâm \(T\left( {1;0; - 1} \right)\) của (S)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} - 21 = 2\\
{y_M} + 16 = 0\\
{z_M} + 10 =  - 2
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {23; - 16; - 12} \right) \Rightarrow T = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right| = 23 + 16 + 12 = 51\) 

Trong (ABCD), gọi \(I = NP \cap AB,K = NP \cap AD\) 

Trong (ABB’A), gọi \(E = IM \cap BB'\) 

Trong (ADD’A’), gọi \(F = KM \cap DD'\) 

Thiết diện của hình hộp cắt bởi (MNP) là ngũ giác MENPF.

Ta có: \(\Delta INB = \Delta PNC \Rightarrow IN = NP\), tương trự:

\(\begin{array}{l}
KP = NP \Rightarrow IN = KP = NP\\
 \Rightarrow \frac{{IN}}{{IK}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{IN}}{{IK}} = \frac{{BE}}{{AM}} = \frac{{IB}}{{IA}} = \frac{1}{3}\\
 \Rightarrow \frac{{{V_{E.IBN}}}}{{{V_{M.IAK}}}} = \frac{1}{{27}}
\end{array}\)   

Tương tự: \(\frac{{{V_{F.DPK}}}}{{{V_{M.IAK}}}} = \frac{1}{{27}} \Rightarrow \frac{{{V_2}}}{{{V_{M.IAK}}}} = 1 - \frac{1}{{27}} - \frac{1}{{27}} = \frac{{25}}{{27}} \Rightarrow {V_2} = \frac{{25}}{{27}}{V_{M.IAK}}\) 

Ta có: \(\Delta IAK\) đồng dạng \(\Delta NCP\) với tỉ số đồng dạng là 3 \( \Rightarrow {S_{\Delta AIK}} = 9.{S_{\Delta NCP}}\) 

Mà \({S_{\Delta NCP}} = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}.{S_{ABCD}} = \frac{1}{8}{S_{ABCD}}\) 

\( \Rightarrow {S_{\Delta AIK}} = \frac{9}{8}{S_{ABCD}}\) 

Khi đó:

\(\begin{array}{l}
{V_{M.IAK}} = \frac{1}{2}.\frac{9}{8}.{V_{A'.ABCD}} = \frac{1}{2}.\frac{9}{8}.\frac{1}{3}.{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{3}{{16}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\\
 \Rightarrow {V_2} = \frac{{25}}{{27}}{V_{M.IAK}} = \frac{{25}}{{27}}.\frac{3}{{16}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{{25}}{{144}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\\
 \Rightarrow {V_1} = \frac{{119}}{{144}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{119}}{{25}}
\end{array}\)