Với \(a,b\) là hai số thực dương tuỳ ý, \(\ln \left( {{{\rm{e}}^2}.{a^7}{b^5}} \right)\) bằng

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng \(a\) và độ dài đường cao bằng \(3a\). Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho bằng

Thể tích khối chóp có diện tích đáy \({a^2}\sqrt 2 \) và chiều cao \(3a\) là

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R?

Biết thể tích khối lập phương bằng \(16\sqrt 2 {a^3}\), vậy cạnh của khối lập phương bằng bao nhiêu?

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3x - \sin x\).

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Gọi M và N lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(A = \frac{{\cos x + 1}}{{2\sin x + 4}}\). Giá trị của M+N bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 1\,;\,5\,;\,2} \right)\) và \(B\left( {3\,;\, - 3\,;\,2} \right)\). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là

Cho \({3^a} = 5\), khi đó \({\log _{25}}81\) bằng

Thể tích khối cầu bán kính 6 cm bằng

Cho khối nón có thể tích bằng \(2\pi {a^3}\) và bán kính đáy bằng \(a\). Độ dài đường sinh của khối nón đã cho bằng

Giá trị \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}}\) bằng

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và \({u_4} = 54\). Giá trị \({u_{2019}}\) bằng

Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {{x^2} - 4x} \right)^{\frac{{2019}}{{2020}}}}\) là

Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right) = \cos 3x\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{2}{3}\). Tính \(F\left( {\frac{\pi }{9}} \right)\).

Đạo hàm của hàm số \(y = {2020^x}\) là

Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(2a\) cạnh bên bằng \(a\sqrt 5 \). Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) và liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {\sqrt {2x - 3} } \right) + 4 = 0\) là

Số nghiệm nguyên của bất phương trình: \({\log _{0,8}}(15x + 2) > {\log _{0,8}}\left( {13x + 8} \right)\) là

Đồ thị hàm số \(y = {x^4} - {x^2} + 1\) có bao nhiêu điểm cực trị có tung độ là số dương?

Cho tứ diện ABCD, hai điểm M và N lần lượt trên hai cạnh và sao cho \(3MA = MB,AD = 4AN\). Tỷ số thể tích của 2 khối đa diện ACMN và BCDMN bằng:

Hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau

Hàm số đạt cực tiểu tại

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3\,;\,1\,;\, - 2} \right),B\left( {2\,;\, - 3\,;\,5} \right)\). Điểm M thuộc đoạn AB sao cho \(MA = 2MB\), tọa độ điểm M là

Thể tích khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h là

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3\,;\,4} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 3\,;\,4} \right]\) . Giá trị của \(3M + 2m\) bằng

Phương trình \({\left( {\sqrt 5 } \right)^{{x^2} + 4x + 6}} = {\log _2}128\) có bao nhiêu nghiệm?

Một khối trụ có thể tích bằng \(6\pi \). Nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính đáy của khối trụ đó gấp 3 lần thì thể tích của khối trụ mới bằng bao nhiêu?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2}{e^{{x^3} + 2}} + 2x{e^{2x}}\), ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = m{e^{{x^3} + 2}} + nx{e^{2x}} - p{e^{2x}} + C} \). Giá trị của biểu thức \(m + n + p\) bằng

Trong các nghiệm \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn bất phương trình \({\log _{{x^2} + 2{y^2}}}\left( {2x + y} \right) \ge 1\). Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = 2x + y\) là

Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vuông cạnh \(2a\), SA vuông góc với mặt (ABCD) và \(SA = a\sqrt 3 \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB bằng

Có 3 quyển sách toán, 4 quyển sách lí và 5 quyển sách hóa khác nhau được sắp xếp ngẫu nhiên lên một giá sách gồm có 3 ngăn, các quyển sách được sắp dựng đứng thành một hàng dọc vào một trong ba ngăn (mỗi ngăn đủ rộng để chứa tất cả quyển sách). Tính xác suất để không có bất kì hai quyển sách toán nào đứng cạnh nhau.

Cắt hình nón (N) đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(2a\sqrt 2 .\) Biết BC là một dây cung đường tròn của đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy của hình nón một góc \(60^0\). Tính diện tích tam giác SBC.

Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, là tam giác ABC vuông tại A, biết \(AB = 3a,AC = 4a,SA = 5a\). Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Tìm số nguyên dương sao cho

\({\log _{2018}}2019 + {2^2}{\log _{\sqrt {2018} }}2019 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{{2018}}}}2019 + ... + {n^2}{\log _{\sqrt[n]{{2018}}}}2019 = {1010^2}{.2021^2}{\log _{2018}}2019\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Số các giá trị nguyên của tham số m không vượt quá 5 để phương trình \(f\left( {{\pi ^x}} \right) - \frac{{{m^2} - 1}}{8} = 0\) có hai nghiệm phân biệt là

Cho hình cầu tâm O bán kính R = 5, tiếp xúc với mặt phẳng (P). Một hình nón tròn xoay có đáy nằm trên (P), có chiều cao h = 15, có bán kính đáy bằng R. Hình cầu và hình nón nằm về một phía đối với mặt phẳng (P). Người ta cắt hai hình đó bởi mặt phẳng (Q) song song với (P) và thu được hai thiết diện có tổng diện tích là S. Gọi x là khoảng cách giữa (P) và (Q), \((0 < x \le 5)\). Biết rằng S đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \frac{a}{b}\) (phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản). Tính giá trị \(T = a + b\).

Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số \(y = \frac{{3x - 1 - 2m}}{{x - m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {5\,;\, + \infty } \right)\) là

Một khối đồ chơi gồm một khối hình trụ (T) gắn chồng lên một khối hình nón (N), lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là \({r_1},{h_1},{r_2},{h_2}\) thỏa mãn \({r_2} = 2{r_1},\,\,{h_1} = 2{h_2}\) (hình vẽ). Biết rằng thể tích của khối nón (N) bằng \(20\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng

Biết \(\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x = 3x\cos \left( {2x - 5} \right) + C} \). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Biết phương trình \({\log _{2018}}\left( {\frac{2}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x}} \right) = 2{\log _{2019}}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = a + b\sqrt 2 \) trong đó \(a, b\) là những số nguyên. Khi đó \(a+b\) bằng

Cho các bất phương trình \(\log _5^{}( - {x^2} + 4x + m) - {\log _5}({x^2} + 1) < 1\) (1) và \(\sqrt {4 - x}  + \sqrt {x - 1}  \ge 0\) (2). Tổng tất cả các giá trị nguyên dương của m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình (2) đều là nghiệm của bất phương trình (1) là

Bạn Nam vừa trúng tuyển đại học, vì hoàn cảnh gia đình khó khăn nên được ngân hàng cho vay vốn trong 4 năm học đại học, mỗi năm 10 triệu đồng vào đầu năm học để nạp học phí với lãi suất 7.8%/năm (mỗi lần vay cách nhau đúng 1 năm). Sau khi tốt nghiệp đại học đúng 1 tháng, hàng tháng Nam phải trả góp cho ngân hàng số tiền là m đồng/tháng với lãi suất 0,7%/tháng trong vòng 4 năm. Số tiền m mỗi tháng Nam cần trả cho ngân hàng gần nhất với số nào sau đây (ngân hàng tính lãi trên số dư nợ thực tế).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, \(AB = BC = 3a\sqrt 2 ,\widehat {SAB} = \widehat {SCB} = {90^0}\). Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(2a\sqrt 3 \). Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + \left( {1 - 2a} \right){\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} - 4 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} - {x_2} = {\log _{2 + \sqrt 3 }}3\). Khi đó \(a\) thuộc khoảng

Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {{x^4} - 38{x^2} + 120x + 4m} \right|\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2} \right]\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của tham số m bằng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên R và hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên dưới.

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right| + m} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng 7 điểm cực trị?

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới.

Số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\) là