Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của tập gồm 10 phần tử. Khi đó số cách sắp xếp là 10!.

\(\left\{ \begin{array}{l} {u_7} = 16\\ {u_9} = 22 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 6{\rm{d}} = 16\\ {u_1} + 8{\rm{d}} = 22 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = - 2\\ d = 3 \end{array} \right.\)

\({5^{{x^2}}} = {5^x} \Leftrightarrow {x^2} = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\)

Thể tích của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a là: a³

Hàm số xác định khi \({e^x} - {e^5} > 0 \Leftrightarrow x > 5\)

\(F\left( x \right) = \int {\left( {\cos x + x} \right)dx} = \sin x + \frac{1}{2}{x^2} + C\)

Gọi V là thể tích khối chóp, h chiều cao và S là diện tích đáy.

Khi đó \(V = \frac{1}{3}.h.{\rm{S}} \Leftrightarrow V - \frac{1}{3}.10.300 \Leftrightarrow V = 1000{\rm{ }}\left( {d{m^3}} \right)\).

Do đó V = 1m³.

Gọi bán kính đường tròn đáy của khối nón và khối trụ là R.

Chiều cao của khối nón và khối trụ là h.

Khi đó thể tích khối nón là \({V_1} = \frac{1}{3}\pi {R^2}.h\) và thể tích khối trụ là \({V_2} = \pi {R^2}.h\).

Do vậy \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi {R^2}.h}}{{\pi {R^2}.h}} = \frac{1}{3}\).

Thể tích V của khối cầu có bán kính R là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)

Hàm số không có GTLN 

Với a, b, c và a khác 1 thì \({\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right)\)

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ \({S_{xq}} = 2\pi Rh\)

Dựa vào bảng biến thiên ta có, dấu của y' đổi từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại x = 2 và dấu của y' đổi từ dương sang âm nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Giá trị cực tiểu của hàm số bằng -1, giá trị cực đại của hàm số bằng 0.

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số tăng suy ra hệ số a > 0.

Đồ thị hàm số đạt cực trị tại hai điểm là (0;2) và (2;-2).

Ta có \(y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2\) có \(y' = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}}\). Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 2 \end{array} \right.\) (thỏa).

Ta có hàm số \(y = {x^3} + 3{\rm{x}} + 2\) có \(y' = 3{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}}\). Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\) (loại).

Ta có đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 suy ra hàm số \(y = {x^3} + 3{{\rm{x}}^2} + 2\) không thỏa.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 2\) nên đường thẳng y = -2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có: \({2^{x + 1}} > 0\) với mọi \(x \in R\)

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = \pi \) bằng số giao điểm của đường thẳng \(y = \pi \) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng \(y = \pi \) cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt nên phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

\(\int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]d{\rm{x}}} = \int\limits_{ - 1}^2 {x{\rm{dx}}} + 2\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} - \int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right)d{\rm{x}}} = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_{ - 1}^2 + 4 + 3 = \frac{3}{2} + 7 = \frac{{17}}{2}\)

\(z = 2 + i \Rightarrow \overline z = 2 - i\)

Vậy \(\overline z \) có phần thực, phần ảo lần lượt là 2 và -1.

\(\begin{array}{l} z' = \overline z - {\rm{w}}.z\\ = 3 + 5i - \left( { - 1 + 2i} \right).\left( {3 - 5i} \right)\\ = 3 + 5i - \left( {7 + 11i} \right)\\ = - 4 - 6i \end{array}\)

\(z = 1 - 2i \Rightarrow \overline z = 1 + 2i \Rightarrow M\left( {1;2} \right)\)

Hình chiếu vuông góc của điểm M(3;-1;2) trên trục Oy là H(0;-1;0).

Tọa độ điểm N đối xứng với điểm M(3;-1;2) qua trục Oy là

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_N} = 2{{\rm{x}}_H} - {x_M} = 2.0 - 3 = - 3\\ {y_N} = 2{y_H} - {y_M} = 2.\left( { - 1} \right) - \left( { - 1} \right) = - 1\\ {z_N} = 2{{\rm{z}}_H} - {z_M} = 2.0 - 2 = - 2 \end{array} \right. \Rightarrow N\left( { - 3; - 1; - 2} \right)\)

Ta có a = 1,b = 2,c =  - 2 và \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = 4\) nên I(1;2;-2) và R = 4.

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {2;1;2} \right)\)

Giả sử giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là một đường thẳng đi qua điểm I.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l} I \in \left( P \right)\\ I \in \left( Q \right) \end{array} \right.\).

Kiểm tra các điểm M, N, P, Q. Ta thấy chỉ có điểm P(1;1;1) cùng thuộc hai mặt phẳng (P) và (Q).

Vậy P(1;1;1) là điểm cần tìm.

Ta có MN là đường trung bình tam giác ABC nên MN // BC, do đó \(\left( {MN,PQ} \right) = \left( {BC,PQ} \right)\).

Mặt khác PQ là đường trung bình tam giác vuông cân BCD suy ra \(\left( {BC,PQ} \right) = 45^\circ \). Do đó \(\left( {MN,PQ} \right) = 45^\circ \).

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị tại x = -1 và x = 1.

Tại x = 0 không phải là cực trị vì hàm số y = f(x) không xác định tại x = 0.

TXĐ: \(D = \left[ { - 3\sqrt 2 ;3\sqrt 2 } \right]\).

Ta có: \(y' = 1 - \frac{x}{{\sqrt {18 - {x^2}} }}\).

y' = 0 ⇒ x = 3.

Ta có: \(y\left( 3 \right) = 6;y\left( {3\sqrt 2 } \right) = 3\sqrt 2 ;y\left( { - 3\sqrt 2 } \right) = - 3\sqrt 2 \).

⇒ Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là \( - 3\sqrt 2 \).

\({\log _2}2{{\rm{a}}^2} = {\log _2}2 + {\log _2}{a^2} = 1 + 2{\log _2}a\)

\({\log _2}{\left( {2{\rm{a}}} \right)^2} = 2{\log _2}\left( {2{\rm{a}}} \right) = 2\left( {{{\log }_2}2 + {{\log }_2}a} \right) = 2 + 2{\log _2}a\)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (P) là

\(2{{\rm{x}}^3} - 3{\rm{x}} + 2 = - {x^2} + 10{\rm{x}} - 4 \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^3} + {x^2} - 13{\rm{x}} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - 3\\ x = \frac{1}{2} \end{array} \right.\).

Vậy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

BPT đã cho tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l} x - 1 > 0\\ x - 1 < 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < 9\).

Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là (1;9)

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương cạnh a, nên ta có \(AC = a\sqrt 2 ,A'C = a\sqrt 3 \) và \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\) hay \(AA' \bot AC\).

Tam giác AA'C vuông tại A nên khi quay tam giác AA'C quanh trục AA' ta được hình nón tròn xoay có bán kính đáy \(R = AC = a\sqrt 2 \).

Đường cao AA' = a và đường sinh \(l = A'C = a\sqrt 3 \).

Vậy diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi \left( {\sqrt 6 + 2} \right){a^2}\).

Đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 1} \Rightarrow dt = \frac{{{e^x}d{\rm{x}}}}{{2\sqrt {{e^x} + 1} }} \Rightarrow 2t{\rm{d}}t = {e^x}d{\rm{x}}\)

Do đó \(I = \int {2{\rm{d}}t} \)

Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

\(4 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - 2 \notin \left( {1; + \infty } \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\)

\(7 - 4{{\rm{x}}^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 7 }}{2} \notin \left[ {0;1} \right]\)

\( \Rightarrow S = \int\limits_0^1 {\left| {7 - 4{{\rm{x}}^2}} \right|d{\rm{x}}} + \int\limits_1^2 {\left| {4 - {x^2}} \right|dx} + \int\limits_2^3 {\left| {4 - {x^2}} \right|d{\rm{x}}} \)

\(\begin{array}{l} = \int\limits_0^1 {\left( {7 - 4{{\rm{x}}^2}} \right)d{\rm{x}}} + \int\limits_1^2 {\left( {7 - 4{{\rm{x}}^2}} \right)d{\rm{x}}} + \int\limits_2^3 {\left( {7 - 4{{\rm{x}}^2}} \right)d{\rm{x}}} \\ = 7 - 1 + \frac{{16}}{3} - \frac{{11}}{3} - 3 + \frac{{16}}{3} = 10 \end{array}\)

\({\rm{w}} = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{3 - i}}{{1 - 2i}} = \frac{{\left( {3 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}}{5} = \frac{{5 + 5i}}{5} = 1 + i\)

Vì \(\left( {1 + 2i} \right)z - 8 - i = 0 \Leftrightarrow z = \frac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{1 + 4}} = \frac{{10 - 15i}}{5} = 2 - 3i\) nên \(\left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = - 3 \end{array} \right.\).

Vậy S = a + b =  - 1.

Chọn điểm \(B\left( {2;1;1} \right) \in d\), suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;0;1} \right)\).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,{{\overrightarrow u }_d}} \right] = \left( {1; - 7; - 4} \right)\).

Phương trình mặt phẳng cần tìm là \(\left( {x + 2} \right) - 7\left( {y - 1} \right) - 4{\rm{z}} = 0 \Leftrightarrow x - 7y - 4{\rm{z}} + 9 = 0\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Phương trình tham số của đường thẳng AB là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2 - t\\ z = 2t \end{array} \right.\).

Giả sử số thứ tự trong danh sách là \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_{10}}\).

Do dãy này là cấp số cộng nên ta có \({u_1} + {u_{10}} = {u_2} + {u_9} = {u_3} + {u_8} = {u_4} + {u_7} = {u_5} + {u_6}\).

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 10!\).

Gọi A là biến cố “Tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau”. Để biến cố này xảy ra ta thực hiện liên tiếp các bước sau:

Bước 1: xếp thứ tự 5 cặp học sinh có các cặp số thứ tự là \(\left\{ {{u_1};{u_{10}}} \right\},\left\{ {{u_2};{u_9}} \right\},\left\{ {{u_3};{u_8}} \right\},\left\{ {{u_4};{u_7}} \right\},\left\{ {{u_5};{u_6}} \right\}\) vào trước 5 cặp ghế đối diện nhau. Bước này có 5! cách.

Bước 2: Xếp từng cặp một ngồi vào cặp ghế đối diện đã chọn ở bước 1. Bước này có 2⁵ cách.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là \(n\left( A \right) = 5!{.2^5}\).

Vậy xác suất của biến cố A là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{{945}}\).

Gọi I, K lần lượt là trung điểm BC, B'C'. Trong tam giác IAK kẻ đường cao IH.

Ta có \(BC{\rm{ || B'C'}} \Rightarrow {\rm{BC || }}\left( {AB'C'} \right)\). Khoảng cách giữa AB' và BC bằng khoảng cách giữa BC và mặt phẳng (AB'C').

Ta có \(BC \bot AI\) (vì \(\Delta ABC\) vuông cân), \(BC \bot IK\) nên \(BC \bot \left( {AIK} \right) \Rightarrow BC \bot IH\).

Do đó \(IH \bot \left( {AB'C'} \right)\) (vì \(IH \bot AK,IH \bot B'C'\)). Nên khoảng cách giữa AB' và BC bằng IH.

Ta có \(AI = \frac{{\sqrt 2 b}}{2}\) nên \(\frac{1}{{A{I^2}}} + \frac{1}{{I{K^2}}} = \frac{1}{{I{H^2}}} \Rightarrow IH = \frac{{b\sqrt 3 }}{3}\). 

Ta có

\(\begin{array}{l} {\cos ^3}x + {\left( {m - \sqrt 3 \sin x} \right)^3} - 2\cos \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + m = 0(1)\\ \Leftrightarrow {\cos ^3}x + {\left( {m - \sqrt 3 \sin x} \right)^3} + \cos x - \sqrt 3 \sin x + m = 0\\ \Leftrightarrow {\cos ^3}x + \cos x = {\left( {\sqrt 3 \sin x - m} \right)^3} + \left( {\sqrt 3 \sin x - m} \right) \end{array}\)

Xét hàm \(f\left( t \right) = {t^3} + t\).

Ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0,\forall t \in R\).

⇒ f(t) đồng biến trên R ⇒ phương trình (1) có nghiệm khi

\(\cos x = \sqrt 3 \sin x - m \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x - \cos x = m\) (2)

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm \( \Leftrightarrow - 2 \le m \le 2\).

Vì \(m \in Z\) nên \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).

Gọi A₀ là số tiền ban đầu người đó gửi vào công ty.

Sau n năm, số tiền người đó có được (cả vốn lẫn lãi) là \(A\left( n \right) = {A_0}.{\left( {1 + r} \right)^n}\).

Theo giả thiết, ta có \(5{A_0} = {A_0}{\left( {1 + r} \right)^n} \Leftrightarrow {\left( {1 + r} \right)^n} = 5 \Leftrightarrow 1,{076^n} = 5 \Leftrightarrow n = {\log _{1,076}}5 \approx 21,97\).

Vậy n = 22.

Quan sát bảng biến thiên ta có:

Khi \(x \to - \infty \) thì y → 2 nên đồ thị hàm số nhận y = 2 là đường tiệm cận ngang.

Khi \(x \to - {1^ - }\) thì \(y \to - 5,x \to - {1^ + }\) thì y → 3 nên đồ thị hàm số không nhận x = -1 là đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận.

Gọi h là chiều cao của khối trụ (T). Thể tích khối trụ đã cho là \(V = h.\pi {r^2}\).

Gọi A và B là giao điểm của mặt phẳng (P) với đường tròn đáy tâm O' và M là trung điểm của AB.

Ta có \(O'M = \frac{r}{2} \Rightarrow AB = 2AM = 2\sqrt {{r^2} - \frac{{{r^2}}}{4}} = r\sqrt 3 \Rightarrow \widehat {AO'B} = 120^\circ \).

Diện tích đáy phần khối trụ không chứa trục là .

\({S_1} = {S_q} - {S_{\Delta AO'B}} = \frac{1}{3}.\pi {r^2} - \frac{1}{2}.r.r\sqrt 3 = \frac{{\pi {r^2}}}{3} - \frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{4}\).

\( \Rightarrow {V_1} = h.\left( {\frac{{\pi {r^2}}}{3} - \frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{4}} \right)\)

Suy ra \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{{4\pi }}\).

Thay \(x = \pi - x\) ta được

\(f\left( {\pi - x} \right) + 2f\left( x \right) = \left( {\pi - x + 1} \right)\sin \left( {\pi - x} \right) \Leftrightarrow 2f\left( x \right) - f\left( {\pi - x} \right) = \left( {\pi - x + 1} \right)\sin x\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) + 2f\left( {\pi - x} \right) = \left( {\pi - x + 1} \right)\sin x\\ 2f\left( x \right) + f\left( {\pi - x} \right) = \left( {x + 1} \right)\sin x \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3f\left( x \right) = \left( {2\pi - 3x + 1} \right)\sin x\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{2\pi - 3x + 1}}{3}\sin x\\ \Rightarrow \int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{2\pi + 1}}{3}x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^\pi = \frac{{2 + \pi }}{3} \end{array}\)

Ta có:

\(f\left( {\left| {2f\left( x \right) + m} \right|} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left| {2f\left( x \right) + m} \right| = - 1{\rm{ }}(VN)\\ \left| {2f\left( x \right) + m} \right| = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2f\left( x \right) + m = 2\\ 2f\left( x \right) + m = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = \frac{{2 - m}}{2}\\ f\left( x \right) = \frac{{ - 2 - m}}{2} \end{array} \right.\)

Dựa vào BBT ta suy ra : ycbt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le \frac{{2 - m}}{2} \le 1\\ - 3 \le \frac{{ - 2 - m}}{2} \le 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le m \le 8\\ - 4 \le m \le 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le 4\).

Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa ycbt.

Điều kiện: \(\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} > 0 \Leftrightarrow x + y > 0\).

Ta có \({\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y - 3} \right) + xy\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {x + y} \right) - 2{\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) = {x^2} + {y^2} + xy - 3{\rm{x}} - 3y\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {x + y} \right) + 2 - 2{\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) = {x^2} + {y^2} + xy + 2 - 3{\rm{x}} - 3y\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {3{\rm{x}} + 3y} \right) + \left( {3{\rm{x}} + 3y} \right) = 2{\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 3} \right) + {x^2} + {y^2} + xy + 2(*) \end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = 2{\log _3}t + t,t \in \left( {0; + \infty } \right)\), ta có \(f'\left( t \right) = \frac{2}{{t.\ln 3}} + 1 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Suy ra hàm f(t) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Phương trình (*) \( \Leftrightarrow f\left( {3{\rm{x}} + 3y} \right) = f\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + xy + 2 = 3{\rm{x}} + 3y\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {y^2} + xy - 3y = - {x^2} + 3x - 2\\ P = 5 + x - ({y^2} + xy - 3y) = {x^2} - 2x + 7 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 6 \ge 6 \end{array}\)

Điều kiện: \(x > \frac{1}{3}\) và m > 0.

Phương trình đã cho tương đương: \(lo{g_3}x - {\log _3}\left( {3x - 1} \right) = {\log _3}\frac{1}{m} \Leftrightarrow \frac{x}{{3x - 1}} = \frac{1}{m}.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{3x - 1}}\) với \(x > \frac{1}{3}\) có \(f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x > \frac{1}{3}\)

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi \(\frac{1}{m} > \frac{1}{3} \Leftrightarrow 0 < m < 3.\)

Do \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}.\)

Gọi h là chiều cao của hình lăng trụ ABC.A’B’C’.

Vì ∆ABC đều có độ dài cạnh bằng 6 nên \({S_{\Delta ABC}} = {4^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \).

Thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ là \(V = h.{S_{\Delta ABC}} = 8.4\sqrt 3 = 32\sqrt 3 \).

Gọi E là trung điểm của cạnh AA’. Thể tích khối chóp A.EMN là:

\({V_{A.EMN}} = \frac{1}{3}d\left( {A,\,\,\left( {EMN} \right)} \right).{S_{\Delta EMN}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}h.\frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{{24}}V\)

Thể tích khối đa diện ABCMNP là:

\({V_{ABCMNP}} = \frac{1}{2}V - 3{V_{A.EMN}} = \frac{1}{2}V - 3.\frac{1}{{24}}V = \frac{3}{8}V = 12\sqrt 3 \)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x > - \frac{m}{2} \end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {2{\rm{x}} + m} \right) - 2{\log _2}x = {x^2} - 4{\rm{x}} - 2m - 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2x + m} \right) - 2\log {\rm{x}} = {x^2} - 2\left( {2x + m} \right) - 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2{\rm{x}} + m} \right) + 2\left( {2x + m} \right) + 1 = {\log _2}{x^2} + {x^2}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2{\rm{x}} + m} \right) + 2\left( {2x + m} \right) = {\log _2}{x^2} + {x^2}\\ \Leftrightarrow f\left( u \right) = f\left( v \right) \end{array}\)

Xét \(f\left( u \right) = {\log _2}u + u,\left( {u > 0} \right)\); ta có: \(f'\left( u \right) = \frac{1}{{u\ln 2}} + 1 > 0\). Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 2{\rm{x,}}\left( {x > 0} \right)\).

Phương trình có 2 nghiệm dương khi \( - 4 < 2m < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 0\) suy ra có 1 giá trị nguyên.