Cho \(a;b\) là các số thực thỏa mãn \(a > 0\) và \(a \ne 1\) biết phương trình \({a^x} - \frac{1}{{{a^x}}} = 2\cos \left( {bx} \right)\) có 7 nghiệm thực phân biệt. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình \({a^{2x}} - 2{a^x}\left( {{\mathop{\rm cosbx}\nolimits}  + 2} \right) + 1 = 0\)      

Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = \cos 2x + mx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) 

Phương trình \({\sin ^2}x + \sin x\sin 2x = m\cos x + 2m{\cos ^2}x\) (với \(m\) là tham số) có ít nhất bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( { - \pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)? 

Cho tứ diện \(ABCD\), có \(AB = CD = 5\), khoảng cách giữa \(AB\) và \(CD\) bằng \(12\), góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng \({30^0}\). Tính thể tích khối tứ diện \(ABCD\) .

Cho \({\log _2}3 = a,{\log _3}5 = b\), giá trị của biểu thức \(P = {\log _{20}}36 - {\log _{75}}12\) tính theo \(a,b\) là 

Gọi \(M;m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x + a}}{{{x^2} + 1 + 2a}}\), với \(a\) là tham số dương. Tìm tất cả các giá trị của \(a\) để \(3M + 7m = 0.\) 

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{x}{2} - \sqrt {{x^2} - x + m} \) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\). 

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang cân \(\left( {AB//CD} \right)\). Biết \(AD = 2\sqrt 5 ;AC = 4\sqrt 5 ;AC \bot AD;SA = SB = SC = SD = 7.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA,CD.\)

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(2a\). Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua \(A\) và song song với \(BD\) cắt cạnh \(SC\) tại \(I\) và chia khối chóp thành \(2\) phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(\left| {f\left( {\left| {x - 2} \right|} \right) + 1} \right| - m = 0\) có \(8\) nghiệm phân biệt trong khoảng \(\left( { - 5;5} \right)?\)

Một quân Vua ở giữa một bàn cờ vua (như hình vẽ) di chuyển ngẫu nhiên \(3\) bước, tìm xác suất để sau \(3\) bước nó trở lại vị trí xuất phát (mỗi bước đi, quân Vua chỉ có thể đi sang ô chung đỉnh hoặc ô chung cạnh với ô nó đang đứng).

Một công ty cần sản xuất các sản phẩm bằng kim loại có dạng khối lăng trụ tam giác đều có thể tích bằng \(\sqrt[4]{3}\left( {{m^3}} \right)\) rồi sơn lại hai mặt đáy và hai mặt bên. Hỏi diện tích cần sơn mỗi sản phẩm nhỏ nhất bằng bao nhiêu mét vuông? 

Nhà cung cấp dịch vị internet X áp dụng mức giá với dung lượng sử dụng của khách hàng theo hình thức bậc thang như sau: Mỗi bậc áp dụng cho \(64MB\), bậc 1 có giá \(100\) đ/1MB, giá của mỗi MB ở các bậc tiếp theo giảm \(10\% \) so với bậc trước đó. Tháng 12 năm 2018, bạn An sử dụng hết \(2GB\), hỏi bạn An phải trả bao nhiêu tiền (tính bằng đồng, làm tròn đến hàng đơn vị)?

Cho hình trụ \(\left( T \right)\) có chiều cao bằng đường kính đáy, hay đáy là các hình tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';R} \right)\). Gọi \(A\) là điểm di động trên đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(B\) là điểm di động trên đường tròn \(\left( {O';R} \right)\), khi đó thể tích khối tứ diện \(OO'AB\) có giá trị lớn nhất là

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại\(A\) và \(D\), \(AD = DC = a\). Biết \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(2a\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Tính cô sin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

Cho hàm số \(y = {x^3} + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm điểm có hoành độ dương trên đường thẳng \(d:y = x + 1\) mà qua đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến tới \(\left( C \right).\) 

Có bao nhiêu giá trị nguyên trong tập giá trị của hàm số \(y = \dfrac{{{{\sin }^2}x - 2\sin 2x + 1}}{{\cos 2x + 2\sin 2x - 3}}\)?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 3} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x }}{{f\left( x \right) + 3}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?

Trong khai triển \({\left( {1 + x + {x^2}} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_{2n}}{x^{2n}}\) có \(\dfrac{{{a_1}}}{2} = \dfrac{{{a_2}}}{{11}}\) thì giá trị của \(n\) là

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 2m\) có ba điểm cực trị \(A,B,C\) sao cho \(O,A,B,C\) là các đỉnh của một hình thoi (với \(O\) là gốc tọa độ).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình \(f\left( x \right) = m\) (\(m\) là tham số) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( { - 2;6} \right)\)?

Cho hai số thực \(x;y\) thỏa mãn \(0 < x < 1 < y\). Trong các bất đẳng thức sau, có bao nhiêu bất đẳng thức đúng?     

\(\left( 1 \right)\,{\log _x}\left( {1 + y} \right) > {\log _{\frac{1}{y}}}x\)         

\(\left( 2 \right)\,{\log _y}\left( {1 + x} \right) > {\log _x}y\)       

\(\left( 3 \right)\,{\log _y}x < {\log _{1 + x}}\left( {1 + y} \right)\)

 Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(4\). Gọi \(M,N,P,Q,R,S\) theo thứ tự là trung điểm các cạnh \(AB,AC,CD,BD,AD,BC\). Thể tích khối bát diện đều \(RMNPQS\) là

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x{e^{ - x}}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng 

Một người mau một căn hộ trị giá \(800\) triệu theo hình thức trả góp với lãi suất \(0,8\% \)/tháng. Lúc đầu người đó trả \(200\) triệu, số tiền còn lại mỗi tháng người đó trả cả gốc lẫn lãi \(20\) triệu. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng người đó trả hết nợ, biết rằng lãi suất chỉ tính trên số tiền còn nợ?  (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Cắt khối cầu tâm \(I\), bán kính \(R = 5\) bởi một mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách \(I\) một khoảng bằng \(4\), diện tích thiết diện là 

Hình nón bán kính đáy \(R\) và đường sinh \(l\) thì có diện tích xung quanh bằng

Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + x + 1} \right)\). 

Cho hai mặt phẳng song song \(\left( P \right),\left( Q \right)\) và đường thẳng \(\Delta \). Mệnh đề nào sau đây sai?

Có bao nhiêu số tự nhiên có \(5\) chữ số khác nhau?

Tập xác định của hàm số \(y = {\pi ^{ - x}}\) là

Giá trị cực tiểu của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) là 

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2 - 2x}}{{x + 1}}\) là

Tìm \(I = \lim \dfrac{{3n - 2}}{{n + 1}}\) 

Phương trình \(2\sin x = 1\) có một nghiệm là 

Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3\) có số điểm cực trị là

Khối lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt?

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?

Khối chóp có diện tích đáy bằng \(6\) và chiều cao bằng \(2\) thì có thể tích bằng

Tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2018\) tại điểm có hoành độ bằng \(1\) có phương trình 

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} - 5,\forall n \ge 1\end{array} \right.\). Số hạng thứ \(3\) của dãy số đã cho là

Cho \(a > 0\) và \(a \ne 1.\) Giá trị của biểu thức \({a^{{{\log }_{\sqrt a }}3}}\)  bằng 

Khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng \(2\sqrt 3 a\), cạnh bên bằng \(3\sqrt 3 a\) có thể tích bằng 

Cắt khối trụ có bán kính đáy bằng \(5\) và chiều cao bằng \(10\) bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng \(3\) ta được thiết diện là 

Cho số thực dương \(x\), biểu thức rút gọn của \(P = \dfrac{{\sqrt[3]{x}.{x^{ - 2}}.{x^3}}}{{\sqrt x .\sqrt[6]{x}}}\) là: 

Cho hình chóp \(S.ABC\)  có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B;BA = a;SA = a\sqrt 2 \) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng bao nhiêu? 

Cho hình bình hành \(MNPQ\). Phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {MN} \) biến điểm \(Q\) thành điểm nào sau đây?

Cho \(\dfrac{{{5^2}\sqrt[3]{5}}}{{{5^{\frac{1}{2}}}}} = {5^x}\) . Giá trị của \(x\) là

Khẳng định nào dưới đây về tính đơn điệu của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 2019\) là đúng ?

Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Ox}}yz\) cho điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z + 1 = 0\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(A\) và song song với \(\left( P \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là: