Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;\,1} \right]\) và \(f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}, \forall x \in \left[ {0;\,1} \right]\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)
A. \(\frac{3}{4} + \ln 2\)
B. \(\frac{3}{2} + 2\ln 2\)
C. \(\frac{3}{4} + 2\ln 2\)
D. \(3 + \ln 2\)
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
Theo giả thiết, ta có: \(f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}, \forall x \in \left[ {0;\,1} \right]\) và \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;\,1} \right]\) nên \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {f\left( {1 – x} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} \) (1)
Đặt 1 – x = t thì \({\rm{d}}x = – {\rm{d}}t\), với \(x = 0 \Rightarrow t = 1\), với \(x = 1 \Rightarrow t = 0\)
Do đó: \(\int\limits_0^1 {f\left( {1 – x} \right){\rm{d}}x} = – \int\limits_1^0 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {f\left( {1 – x} \right){\rm{d}}x} = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) (2).
Lại có \(\int\limits_0^1 {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {x + 1 + \frac{2}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x + 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{2} + 2\ln 2\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{3}{2} + 2\ln 2 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{3}{4} + \ln 2\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với công sai d=3 và \({{u}_{2}}=9\). Số hạng \({{u}_{1}}\) của cấp số cộng bằng
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số \(y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( m+25 \right)x-1\) đồng biến trên khoảng \(\left( 1;+\infty \right)\).
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right)+1=0\) là
.jpg.png)
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của \(f^{\prime}(x)\) như sau:
.png)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Xét các số thực a và b thỏa mãn \({{2}^{a}}{{.4}^{b}}=8.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau
.png)
Số nghiệm của phương trình 2f(x) - 1 = 0 là
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\frac{x-2}{x+3}\) trên đoạn [-1 ; 2] bằng
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( c \right):y={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4\) và trục hoành là
Cho khối chóp có diện tich đáy B=3 và thể tích V = 4. Chiều cao của khối chóp đã cho bằng
Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) với \(x \le 2020\) thỏa mãn điều kiện \({\log _2}\frac{{x + 2}}{{y + 1}} + {x^2} + 4x = 4{y^2} + 8y + 1\).
Gọi \({{z}_{0}}\) là nghiệm có phần ảo dương của phương trình \({{z}^{2}}+2z+5=0.\) Điểm biểu diễn của số phức \({{z}_{0}}+3i\) là
Cho khối nón có chiều cao h = 3, bán kính r = 4. Độ dài đường sinh của khối nón bằng
Cho tích phân \(I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{3{{\ln }^{2}}x+1}}dx}\). Nếu đặt \(t=\sqrt{3{{\ln }^{2}}x+1}\) thì khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): \({{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-7)}^{2}}=36\) có tâm I và bán kính R là:
