Câu hỏi Đáp án 2 năm trước 46

Cho số thực \(\alpha \) sao cho phương trình \({2^x} - {2^{ - x}} = 2cos(\alpha x)\) có đúng 2019 nghiệm thực. Số nghiệm của phương trình \({2^x} + {2^{ - x}} = 4 + 2cos(\alpha x)\)  là:

A. 2019

B. 2018

C. 4037

D. 4038

Đáp án chính xác ✅

Lời giải của giáo viên

verified HocOn247.com

Ta có \({2^x} + {2^{ - x}} = 4 + 2cos(\alpha x) \Leftrightarrow {\left( {{2^{\frac{x}{2}}} - {2^{ - \frac{x}{2}}}} \right)^2} = 4co{s^2}\frac{{\alpha x}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{2^{\frac{x}{2}}} - {2^{ - \frac{x}{2}}} = 2cos\frac{{\alpha x}}{2}(1)\\
{2^{\frac{x}{2}}} - {2^{ - \frac{x}{2}}} =  - 2cos\frac{{\alpha x}}{2}(2)
\end{array} \right.\)

Thay  vào phương trình (1) ta có \({2^0} - {2^0} = 2cos0 \Leftrightarrow 0 = 1\) (Vô lí), kết hợp với giả thiết ta có phương trình (1) có 2019 nghiệm thực khác 0.

Với  xlà nghiệm của phương trình (1)

\( \Leftrightarrow {2^{\frac{{{x_0}}}{2}}} - {2^{ - \frac{{{x_0}}}{2}}} = 2cos\frac{{\alpha {x_0}}}{2} \Leftrightarrow {2^{\frac{{( - {x_0})}}{2}}} - {2^{\frac{{ - ( - {x_0})}}{2}}} =  - 2cos\frac{{\alpha ( - {x_0})}}{2} \Rightarrow  - {x_0}\) là nghiệm của phương trình (2)

Thay \(x =  - {x_0}\) vào phương trình (1) ta có:

\( \Leftrightarrow {2^{ - \frac{{{x_0}}}{2}}} - {2^{\frac{{{x_0}}}{2}}} = 2cos\frac{{\alpha ( - {x_0})}}{2} = 2cos\frac{{\alpha {x_0}}}{2} = {2^{\frac{{{x_0}}}{2}}} - {2^{\frac{{ - {x_0}}}{2}}}\)

\( \Leftrightarrow {2.2^{\frac{{{x_0}}}{2}}} = {2.2^{\frac{{ - {x_0}}}{2}}} \Leftrightarrow {2^{\frac{{{x_0}}}{2} + 1}} = {2^{\frac{{ - {x_0}}}{2} + 1}} \Leftrightarrow \frac{{{x_0}}}{1} + 1 =  - \frac{{{x_0}}}{1} + 1 \Leftrightarrow {x_0} = 0\) (vô lí do \({x_0} \ne 0\) )

\( \Rightarrow  - {x_0}\) không là nghiệm của phương trình (1), điều đó đảm bảo mọi nghiệm của phương trình (2) không trùng với nghiệm của phương trình (1).

Do đó phương trình (2) cũng có 2019 nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có 2019.2 = 4038 nghiệm

CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1: Trắc nghiệm

Cho khối trụ (T). Biết rằng một mặt phẳng chứa trục của (T) cắt (T) theo thiết diện là một hình vuông cạnh 4a. Thể tích khối trụ đã cho bằng:

Xem lời giải » 2 năm trước 54
Câu 2: Trắc nghiệm

Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3{x^2} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) là:

Xem lời giải » 2 năm trước 52
Câu 3: Trắc nghiệm

Cho hàm số  có bảng biến thiên

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

 

 

Xem lời giải » 2 năm trước 52
Câu 4: Trắc nghiệm

Với hàm số f(x) tùy ý liên tục trên R , a < b,  diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a, x = b  được xác định theo công thức

Xem lời giải » 2 năm trước 50
Câu 5: Trắc nghiệm

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;1; - 3),B(0; - 2;3) và mặt cầu (S): \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\) . Xét điểm M thay đổi luôn thuộc mặt cầu (S), giá trị lớn nhất của \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng:

Xem lời giải » 2 năm trước 49
Câu 6: Trắc nghiệm

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A( - 1;2;1),B(2; - 1;4),C(1;1;4)\) . Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng (ABC)?

Xem lời giải » 2 năm trước 49
Câu 7: Trắc nghiệm

Với các số thực \(a,b > 0,a \ne 1\)  tùy ý, biểu thức \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right)\) bằng:

Xem lời giải » 2 năm trước 48
Câu 8: Trắc nghiệm

Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} - 8x}}{{x + 1}}\) trên đoạn [1; 3] bằng

Xem lời giải » 2 năm trước 48
Câu 9: Trắc nghiệm

Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng qua A(1;0;2) cắt và vuông góc với đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 5}}{{ - 2}}\). Điểm nào dưới đây thuộc d?

Xem lời giải » 2 năm trước 48
Câu 10: Trắc nghiệm

Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng xét dấu như sau:

Xem lời giải » 2 năm trước 48
Câu 11: Trắc nghiệm

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?

Xem lời giải » 2 năm trước 47
Câu 12: Trắc nghiệm

Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 2a. Hai đường tròn đáy của (T) có tâm lần lượt là O và O1 và bán kính bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy O1 lấy điểm B sao cho \(AB = \sqrt 5 a\). Thể tích khối tứ diện  bằng:

Xem lời giải » 2 năm trước 46
Câu 13: Trắc nghiệm

Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x + 2}}\) là

Xem lời giải » 2 năm trước 45
Câu 14: Trắc nghiệm

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên

Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Xem lời giải » 2 năm trước 45
Câu 15: Trắc nghiệm

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng:

Xem lời giải » 2 năm trước 45

📝 Đề thi liên quan

Xem thêm »
Xem thêm »

❓ Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »