Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiTrong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD, với \(A\left( 1;2;5 \right),B\left( -1;2;7 \right), C\left( 4;2;2 \right),D\left( 0;6;-10 \right).\) Hai điểm P;Q di động trong không gian thỏa mãn PA=QB,PB=QC,PC=QD,PD=QA. Biết rằng mặt phẳng trung trực của đoạn PQ luôn đi qua điểm cố định có tọa độ \(\left( a;b;c \right)\). Tính \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}.\)
A. 9
B. 13
C. 11
D. 5
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
Từ giả thiết PA = QB;PB = QC;PC = QD;PD = QA suy ra \({\overrightarrow {PA} ^2} = {\overrightarrow {QB} ^2};{\overrightarrow {PB} ^2} = {\overrightarrow {QC} ^2};{\overrightarrow {PC} ^2} = {\overrightarrow {QD} ^2};{\overrightarrow {PD} ^2} = {\overrightarrow {QA} ^2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\overrightarrow {PA} ^2} + {\overrightarrow {PB} ^2} + {\overrightarrow {PC} ^2} + {\overrightarrow {PD} ^2} = {\overrightarrow {QA} ^2} + {\overrightarrow {QB} ^2} + {\overrightarrow {QC} ^2} + {\overrightarrow {QD} ^2}\\ \Rightarrow \left( {{{\overrightarrow {PA} }^2} - {{\overrightarrow {QA} }^2}} \right) + \left( {{{\overrightarrow {PB} }^2} - {{\overrightarrow {QB} }^2}} \right) + \left( {{{\overrightarrow {PC} }^2} - {{\overrightarrow {QC} }^2}} \right) + \left( {{{\overrightarrow {PD} }^2} - {{\overrightarrow {QD} }^2}} \right) = 0\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {QA} } \right)\left( {\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {QA} } \right) + \left( {\overrightarrow {PB} - \overrightarrow {QB} } \right)\left( {\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {QB} } \right) + \left( {\overrightarrow {PC} - \overrightarrow {QC} } \right)\left( {\overrightarrow {PC} + \overrightarrow {QC} } \right) + \left( {\overrightarrow {PD} - \overrightarrow {QD} } \right)\left( {\overrightarrow {PD} + \overrightarrow {QD} } \right) = 0\\ \Rightarrow \overrightarrow {QP} .2\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {QP} .2\overrightarrow {BI} + \overrightarrow {QP} .2\overrightarrow {CI} + \overrightarrow {QP} .2\overrightarrow {DI} = 0 \end{array}\)
(Với I là trung điểm của đoạn thẳng PQ)
\( \Rightarrow 2\overrightarrow {PQ} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right) = 0 \Rightarrow 8\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {IG} = 0\)
(Với G(1;3;1) là trọng tâm của tứ diện ABCD, ta có \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 4\overrightarrow {IG} \))
\( \Rightarrow IG \bot PQ\) tại trung điểm I của đoạn PQ \( \Rightarrow IG\) nằm trong mặt phẳng trung trực của đoạn PQ, suy ra mặt phẳng trung trực đoạn thẳng PQ đi qua điểm cố định G(1;3;1) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 11.\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Tính thể tích của khối nón tròn xoay sinh ra khi cho tam giác đều ABC cạnh a quay quanh trục đối xứng của nó.
Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \({z^2} - 6z + 13 = 0.\) Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn \(\left| {{\rm{w}} - {z_1}} \right| = 5\) là một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Giá trị của a và b bằng
Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm \(I\left( 5;-1;3 \right)\) đi qua điểm \(A\left( 2;4;7 \right)\) có phương trình là
Cho \({\log _2}3 = a;{\log _2}5 = b.\) Tính \({\log _3}15\) theo a và b.
Gía trị nguyên dương bé nhất của tham số m để đường thẳng y = mx - 9 cắt đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x\) tại hai điểm phân biệt là
Xác định tham số thực m để phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+4y+8-m=0\) có nghiệm duy nhất \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn bất phương trình \(\log _{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}^{{}}\left( 2x+2y+4 \right)\ge 1\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để phương trình \(4{{\cos }^{4}}x-8{{\cos }^{2}}x-m+1=0\) có 3 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn \(\left[ 0;\frac{3\pi }{2} \right]?\)
Cho hình nón có chiều cao bằng 2a. Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón cách tâm đường tròn đáy của hình nón một khoảng bằng a là một tam giác đều. Tính thể tích của khối nón giới hạn bởi hình nón đã cho.
Tập nghiệm của bất phương trình \({\ln ^2}x - 3\ln x + 2 \le 0\) là
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\) bằng
Trong không gian Oxyz, một véc tơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1 - 2t}\\ {y = 3}\\ {z = 5 + t} \end{array}} \right.\) là
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {2; - 3;1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng 3x - y + 4z - 2 = 0 có phương trình là
