Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 4x > 0\\
2x + 3 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x > 0\\
x <  - 4
\end{array} \right.\\
x >  - \frac{3}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\).

Phương trình đã cho \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) = {\log _3}\left( {2x + 3} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 4x = 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x =  - 3
\end{array} \right.\)

Kết hợp điều kiện ta được \(x=1\).

Tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};\,{\rm{e}}} \right]\). \(y' = 1 - \frac{1}{x};  y' = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left[ {\frac{1}{2};{\rm{e}}} \right]\).

Vậy \(y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2} + \ln 2  ;y\left( 1 \right) = 1;y\left( {\rm{e}} \right) = {\rm{e}} - 1\).

\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};\,{\rm{e}}} \right]} y = {\rm{e}} - 1;\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};\,{\rm{e}}} \right]} y = 1\).

Ta có \({\log _{12}}27 = \frac{3}{{{{\log }_3}\left( {{2^2}.3} \right)}} = a\)

Suy ra \(\frac{3}{{1 + 2{{\log }_3}2}} = a\) hay \({\log _3}2 = \frac{{3 - a}}{{2a}}\) ( \(a \ne 0\) vì \(a = {\log _{12}}27 > {\log _{12}}1\) ).

Khi đó \({\log _{36}}24 = \frac{{{{\log }_3}24}}{{{{\log }_3}36}} = \frac{{3{{\log }_3}2 + 1}}{{2{{\log }_3}2 + 2}} = \frac{{1 + \frac{{9 - 3a}}{{2a}}}}{{2 + \frac{{6 - 2a}}{{2a}}}} = \frac{{9 - a}}{{6 + 2a}}\)

\({\log _{60}}1050 = \frac{{{{\log }_2}1050}}{{{{\log }_2}60}} = \frac{{{{\log }_2}\left( {{{2.3.5}^2}.7} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{2^2}.3.5} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\log }_2}2 + {{\log }_2}3 + {{\log }_2}{5^2} + {{\log }_2}7}}{{{{\log }_2}{2^2} + {{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}} = \frac{{1 + a + 2b + c}}{{2 + a + b}}\)

Ta có \({\log _{24}}600 = \frac{{{{\log }_5}600}}{{{{\log }_5}24}} = \frac{{{{\log }_5}{5^2}.24}}{{{{\log }_5}24}} = \frac{{2 + {{\log }_5}24}}{{{{\log }_5}24}}\)

Mà \({\log _5}24 = {\log _5}{2^3}.3 = 3{\log _5}2 + {\log _5}3 = \frac{3}{a} + \frac{1}{b} = \frac{{a + 3b}}{{ab}}\)

Do đó \({\log _{24}}600 = \frac{{2 + \frac{{a + 3b}}{{ab}}}}{{\frac{{a + 3b}}{{ab}}}} \Rightarrow {\log _{24}}600 = \frac{{2ab + a + 3b}}{{a + 3b}}.\)

\({\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{25}}\left( {{5^{x + 1}} - 5} \right) = 1\)  (1)

TXĐ: \(D = \left( {\,0\,; + \infty } \right)\).

Ta có \({\log _{25}}\left( {{5^{x + 1}} - 5} \right) = {\log _{{5^2}}}\left( {{{5.5}^x} - 5} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_5}\left( {{5^x} - 1} \right) + 1} \right)\).

Đặt \(t = {\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right)\) \(\left( {t > 0} \right)\).

Phương trình (1) trở thành \(t.\frac{1}{2}\left( {t + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0\).

Ta có \({\log _a}b = 2 \Rightarrow {\log _b}a = \frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l}
T = {\log _{\frac{{\sqrt a }}{b}}}\sqrt[3]{{ba}} = {\log _{\frac{{\sqrt a }}{b}}}\sqrt[3]{b} + {\log _{\frac{{\sqrt a }}{b}}}\sqrt[3]{a} = \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[3]{b}}}\frac{{\sqrt a }}{b}}} + \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[3]{a}}}\frac{{\sqrt a }}{b}}}\\
 = \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[3]{b}}}\sqrt a  - {{\log }_{\sqrt[3]{b}}}b}} + \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[3]{a}}}\sqrt a  - {{\log }_{\sqrt[3]{a}}}b}}\\
 = \frac{1}{{\frac{3}{2}{{\log }_b}a - 3}} + \frac{1}{{\frac{3}{2} - 3{{\log }_a}b}} = \frac{1}{{\frac{3}{2}.\frac{1}{2} - 3}} + \frac{1}{{\frac{3}{2} - 3.2}} =  - \frac{2}{3}
\end{array}\)

Ta có: \(A = {\log _m}\left( {8m} \right) = {\log _m}8 + {\log _m}m = \frac{3}{{{{\log }_2}m}} + 1 = \frac{{3 + a}}{a}\)

Ta có:  \(K = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}{\left( {1 - 2\sqrt {\frac{y}{x}}  + \frac{y}{x}} \right)^{ - 1}} = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{2}}}}}} \right)^{ - 2}} = x\)

Ta có: \({\log _a}2019 + {\log _{\sqrt a }}2019 + {\log _{\sqrt[3]{a}}}2019 + ... + {\log _{\sqrt[n]{a}}}2019 = 2033136.{\log _a}2019\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\log _a}2019 + 2.{\log _a}2019 + 3.{\log _a}2019 + ... + n.{\log _a}2019 = 2033136.{\log _a}2019\\
 \Leftrightarrow \left( {1 + 2 + 3 + ... + n} \right).{\log _a}2019 = 2033136.{\log _a}2019\\
 \Leftrightarrow \left( {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 2033136} \right).{\log _a}2019 = 0\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\\
 \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 2033136 \Leftrightarrow {n^2} + n - 4066272 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 2016\\
n =  - 2017
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do \(n\) là số nguyên dương nên \(n=2016\)

Ta có \({\left( {2,5} \right)^{5x - 7}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{x + 1}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{5x - 7}} = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{ - x - 1}} \Leftrightarrow 5x - 7 =  - x - 1 \Leftrightarrow x = 1\)

Điều kiện: \( - 4 < x < 4\) và \(x \ne  - 1\).

Ta có: \({\log _4}{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {4 - x}  + {\log _8}{\left( {4 + x} \right)^3} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4\left| {x + 1} \right|} \right) = {\log _2}\left[ {\left( {4 - x} \right)\left( {4 + x} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow 4\left| {x + 1} \right| = 16 - {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4\left( {x + 1} \right) = 16 - {x^2}\\
4\left( {x + 1} \right) = {x^2} - 16
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 4x - 12 = 0\\
{x^2} - 4x - 20 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x =  - 6\,\\
x = 2 + 2\sqrt 6 \\
x = 2 - 2\sqrt 6 
\end{array} \right.\)

Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm \(x=2\) và \(x = 2 - 2\sqrt 6 \).

Điều kiện: \({x^2} - 3x + 1 > 0 \Leftrightarrow x < \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \vee x > \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\).

Bất phương trình tương đương \({x^2} - 3x + 1 \le 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 3\)

Kết hợp với điều kiện ta được \(x \in \left[ {0;\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} \right]\).

Do \(a>0, b>0\) ta có:

\(T = 2{\left( {a + b} \right)^{ - 1}}.{\left( {ab} \right)^{\frac{1}{2}}}.{\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\frac{a}{b}}  - \sqrt {\frac{b}{a}} } \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}} = \frac{{2\sqrt {ab} }}{{a + b}}.\sqrt {1 + \frac{1}{4}\left( {\frac{a}{b} - 2 + \frac{b}{a}} \right)}  = \frac{{2\sqrt {ab} }}{{a + b}}.\sqrt {1 + \frac{1}{4}.\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}}} \)

\( = \frac{1}{{a + b}}\sqrt {4ab + {a^2} - 2ab + {b^2}}  = \frac{{\sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}} }}{{a + b}} = 1\)

Theo giả thiết \({a^2} + {b^2} = 7ab \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 9ab\), do \(a>0, b>0\) suy ra \(a + b = 3\sqrt {ab} \).

Vậy \(\ln \left( {a + b} \right) = \ln \left( {3\sqrt {ab} } \right) = \ln 3 + \frac{1}{2}\left( {\ln a + \ln b} \right) \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{{a + b}}{3}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\ln a + \ln b} \right)\).

\(y' = \cos \left( {\ln x} \right) + \sin \left( {\ln x} \right) + x\left[ { - \frac{1}{x}\sin \left( {\ln x} \right) + \frac{1}{x}\cos \left( {\ln x} \right)} \right] = 2\cos \left( {\ln x} \right)\)

\(y'' =  - \frac{2}{x}\sin \left( {\ln x} \right)\)

Vậy \({x^2}y'' - xy' + 2y =  - 2x\sin \left( {\ln x} \right) - 2x\cos \left( {\ln x} \right) + 2x\sin \left( {\ln x} \right) + 2x\cos \left( {\ln x} \right) = 0\)

Ta có: \(\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)\left( {7 - 4\sqrt 3 } \right) = 1\) nên \({\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)^{a - 1}} < 7 - 4\sqrt 3  \Leftrightarrow {\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)^{a - 1}} < {\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)^{ - 1}}\)

\( \Leftrightarrow a - 1 <  - 1 \Leftrightarrow a < 0\) (do \(7 + 4\sqrt 3  > 1\)).

Ta có \(A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^5}}}.{a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 2}}}}}} = \frac{{{a^{\frac{5}{3}}}.{a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^4}.{a^{\frac{{ - 2}}{7}}}}} = {a^{\frac{5}{3} + \frac{7}{3} - 4 + \frac{2}{7}}} = {a^{\frac{2}{7}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 2\\
n = 7
\end{array} \right. \Rightarrow 2{m^2} + n = 15\)

Điều kiện xác định: \({x^2} - 2x + m > 0\).

Để hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x + m} \right)\) có tập xác định là R.

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + m > 0,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \Delta  = 4 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > 1\).

Ta có \(P = lo{g_a}b + lo{g_a}c + lo{g_b}a + lo{g_b}c + 4lo{g_c}a + 4lo{g_c}b\)

\( \Leftrightarrow P = \left( {lo{g_a}b + \frac{1}{{lo{g_a}b}}} \right) + \left( {lo{g_a}c + \frac{4}{{lo{g_a}c}}} \right) + \left( {lo{g_b}c + \frac{4}{{lo{g_b}c}}} \right) \ge 2 + 4 + 4 = 10 \Rightarrow m = 10\)

Dấu đẳng xảy ra khi \(lo{g_a}b = 1,lo{g_a}c = 2,lo{g_b}c = 2 \Rightarrow n = 2\)

Vậy \(m+n=12\).

Vì cứ sau 20 phút (bằng \(\frac{1}{3}\) giờ) số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi nên số lượng vi khuẩn tăng theo quy luật \({N_n} = {N_0}{.2^n} \Leftrightarrow 671088640 = {40.2^n} \Rightarrow n = 24\). Vậy sau \(24.\frac{1}{3} = 8\) giờ thì số vi khuẩn đạt mức \(671088640\) con.

\(\begin{array}{l}
{\log _a}b = 2 \Rightarrow b = {a^2}\\
{\log _{{a^2}b}}\frac{{{a^4}}}{{b\sqrt b }} = {\log _{{a^4}}}\frac{{{a^4}}}{{{a^3}}} = {\log _{{a^4}}}a = \frac{1}{4}
\end{array}\)

Ta có \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên \(\left[ {0;\frac{7}{2}} \right]\) và \(f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\); \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {3;\frac{7}{2}} \right]\) suy ra hàm số \(y=f(x)\) có duy nhất một cực tiểu tại điểm \(x_0=3\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\frac{7}{2}} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{2^{x + y}} = 8\\
{2^x} + {2^y} = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{2^x}{.2^y} = 8\\
{2^x} + {2^y} = 5
\end{array} \right.\left( 1 \right)\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
{2^x} = a\\
{2^y} = b
\end{array} \right.\), ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a.b = 8\\
a + b = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a\left( {5 - a} \right) = 8\\
b = 5 - a
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - {a^2} + 5a - 8 = 0\left( {vn} \right)\\
b = 5 - a
\end{array} \right.\)

Hệ phương trình đã cho vô nghiệm 

Số tiền người đó nhận về sau 6 năm là: \(75000000 \times {\left( {1 + \frac{{5,4}}{{100}}} \right)^6} \approx 102826000\).

Quan sát đồ thị trong hai trường hợp \(a>1\) và \(0<a<1\) ta thấy đồ thị (C) đối xứng với đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất, đồ thị (C) đi lên từ trái sang phải khi \(a>1\), đồ thị (C) luôn đi qua điểm có tọa độ \((0;1)\), đồ thị (C) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=0\).

Ta có \({\log _6}45 = \frac{{{{\log }_2}45}}{{{{\log }_2}6}} = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3 + 1}} = 2 + \frac{{{{\log }_2}5 - 2}}{{{{\log }_2}3 + 1}}\) suy ra \(a=2, b=-2, c=1\)

Vậy \(a+b+c=1\)

Điều kiện: \(x \in R\)

Ta có \({3^{2x + 8}} - {4.3^{x + 5}} + 27 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{3^{\left( {x + 4} \right)}}} \right)^2} - {12.3^{x + 4}} + 27 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{3^{x + 4}} = 9}\\
{{3^{x + 4}} = 3}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x =  - 2}\\
{x =  - 3}
\end{array}} \right.\)

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng \(-5\).

Ta có:\({\log _{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}}\left( {{6^{x + 1}} - {{36}^x}} \right) =  - 2 \Leftrightarrow {6^{x + 1}} - {36^x} = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{6^x} = 1\\
{6^x} = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = {\log _6}5
\end{array} \right.\)

Vậy tích các nghiệm của phương trình là 0.

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = {2.3^{{{\log }_{81}}x}}.\ln 3.{\left( {{{\log }_{81}}x} \right)^\prime } = {2.3^{{{\log }_{81}}x}}.\ln 3.\frac{1}{{x\ln 81}}\\
f'\left( 1 \right) = {2.3^0}.\ln 3.\frac{1}{{\ln 81}} = 2.1.\ln 3.\frac{1}{{4\ln 3}} = \frac{1}{2}
\end{array}\)

Ký hiệu B là biến cố lấy được số tự nhiên A thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: \({3^N} = A \Leftrightarrow N = {\log _3}A\).

Để N là số tự nhiên thì \(A = {3^m}\,\,\,(m \in N)\).

Những số A dạng có 4 chữ số gồm \({3^7} = 2187\) và \({3^8} = 6561\)

\(n\left( \Omega  \right) = 9000;\,\,\,\,n\left( B \right) = 2\) 

Suy ra: \(P\left( B \right) = \frac{1}{{4500}}\).

Sau tháng thứ 1 người lao động có: \(4\left( {1 + 0,6\% } \right)\) triệu

Sau tháng thứ 2 người lao động có:

\(\left( {4\left( {1 + 0,6\% } \right) + 4} \right)\left( {1 + 0,6\% } \right) = 4\left[ {{{\left( {1 + 0,6\% } \right)}^2} + \left( {1 + 0,6\% } \right)} \right]\) (triệu)

........

Sau tháng thứ 300 người lao động có:

\(4\left[ {{{\left( {1 + 0,6\% } \right)}^{300}} + {{\left( {1 + 0,6\% } \right)}^{299}}... + \left( {1 + 0,6\% } \right)} \right] = 4\left( {1 + 0,6\% } \right)\frac{{{{\left( {1 + 0,6\% } \right)}^{300}} - 1}}{{\left( {1 + 0,6\% } \right) - 1}} \approx 3364,866\)

(\( \approx 3.364.866.000\) đồng).

Đặt \({\log _9}x = t\)

Theo đề ra có \(\left\{ \begin{array}{l}
{\log _9}x = {\log _6}y = t\\
{\log _9}x = {\log _4}\left( {x + y} \right) = t
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = {9^t} & (1)\\
y = {6^t} & (2)\\
x + y = {4^t} & (3)\\
\frac{x}{y} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} & (4)
\end{array} \right.\)

Từ (1), (2), và (3) ta có

\({9^t} + {6^t} = {4^t} \Leftrightarrow {\left( {{3^t}} \right)^2} + {\left( {3.2} \right)^t} - {4^t} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2t}} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} & (TM)\\
{\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} & (L)
\end{array} \right.\)

Thế vào (4) ta được \(\frac{x}{y} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} = \frac{{ - a + \sqrt b }}{2} \Rightarrow a = 1;b = 5\)

Thử lại ta thấy \(a=1, b=5\) thỏa mãn dữ kiện bài toán. Suy ra \(a+b=6\)

\({\log _{\sqrt 2 }}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {mx - 8} \right) \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
{\left( {x - 1} \right)^2} = mx - 8
\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
{x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 9 = 0
\end{array} \right.\,\,\).

Để phương trình đã cho có hai nghiệm thực lớn hơn 1 thì điều kiện sau thỏa mãn.

\(\,\,\left\{ \begin{array}{l}
\Delta  > 0\\
1 < {x_1} < {x_2}
\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + 4m - 32 > 0\\
\left( {{x_1} - 1} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right) > 0\\
\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0
\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m <  - 8\\
m > 4
\end{array} \right.\\
m > 0\\
8 - m > 0
\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow 4 < m < 8\)

Vì \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ {5,6,7} \right\}\).

\(y' = 3{x^2} - 2x + 2\).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = 3{x_0}^2 - 2{x_0} + 2 = 3{\left( {{x_0} - \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{5}{3} \ge \frac{5}{3}\).

Hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là \(\frac{5}{3}\), đạt tại \({x_0} = \frac{1}{3}\).

Ta có \(P = \log \left( {\tan 1^\circ .\tan 2^\circ .\tan 3^\circ ...\tan 89^\circ } \right)\)

\( = \log \left( {\left( {\tan 1^\circ .\tan 89^\circ } \right).\left( {\tan 2^\circ .\tan 88^\circ } \right)...\left( {\tan 44^\circ .\tan 46^\circ } \right).\tan 45^\circ } \right)\)

Áp dụng công thức \(\tan \alpha .\tan \left( {90^\circ  - \alpha } \right) = \tan \alpha .\cot \alpha  = 1\)

Khi đó \(P = \log 1 = 0\).

Ta có: \({\left( {26 + 15\sqrt 3 } \right)^x} + 2{\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)^x} - 2{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{3x}} + 2{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{2x}} - 2{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - x}} = 1\\
 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{4x}} + 2{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{3x}} - {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} - 2 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{3x}} - 1} \right]\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x} + 2} \right] = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow a = 0 \Rightarrow {\sin ^2}a + \cos a = 1
\end{array}\)