Áp dụng công thức \(\int {\cos \left( {ax + b} \right){\rm{d}}x}  = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C\) với \(a \ne 0\); thay a = 3 và b = 0 để có kết quả.

Phân tích phương án nhiễu:

Phương án A. do nhầm dấu và nhầm sang tính đạo hàm.

Phương án C. học sinh nhầm sang nguyên hàm của sin x:

\(\int {\sin \left( {ax + b} \right){\rm{d}}x =  - \frac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C} .\) 

Phương án D. học sinh nhầm hệ số 3x (coi giống \(\int {\cos x{\rm{d}}x = \sin x + C} \)).

Áp dụng công thức \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{ax + b}} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\) ta được \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{5x - 2}} = \frac{1}{5}\ln \left| {5x - 2} \right| + C} \).

Phân tích phương án nhiễu:

Phương án B. sai do áp dụng nhầm \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{ax + b}} = \frac{1}{a}\ln \left( {ax + b} \right) + C} \) nhầm a với b

Phương án C. nhầm hệ số ( giống hệ số khi tính đạo hàm).

Phương án D. sai do nhầm coi a = 1 

Sử dụng công thức nguyên hàm: \(\int {{a^x}{\rm{d}}x = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + c} \); thay a = 7.

Phân tích phương án nhiễu:

Học sinh thường sai chon phương án A. do nhầm đạo hàm.

Phương án C, D sai do nhầm sang nguyên hàm hàm số lũy thừa.

Cách 1: Áp dụng công thức SGK.

Cách 2: Trắc nghiệm

Vì bài toán tính thể tích nên đáp án phải có \(\pi\) trong công thức \( \Rightarrow \) Loại B, D.

Vì trong công thức có \({f^2}\left( x \right)\) trong công thức \( \Rightarrow \) Loại C.

Phân tích phương án nhiễu:

Phương án B sai do học sinh lẫn với tính diện tích hình phẳng (quên \(\pi\)).

Phương án C sai do học sinh lẫn với tính diện tích hình phẳng và thể tích.

Phương án D sai do học sinh lẫn với tính diện tích hình.

\(I = \int\limits_1^2 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = \left. {f\left( x \right)} \right|_1^2 = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 2 - 1 = 1\)

Phân tích phương án nhiễu:

Học sinh thường nhầm phương án B, C do nhầm cận.

Ta có: \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_{ - 1}^2 + 2\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  - 3\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  = \frac{3}{2} + 2.2 - 3\left( { - 1} \right) = \frac{{17}}{2}\).

Phân tích phương án nhiễu:

Học sinh thường nhầm đáp án A vì:

\(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_{ - 1}^2 + 2\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  - 3\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  = \frac{3}{2} + 2.2 - 3 = \frac{5}{2}\).

\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x{\rm{d}}x}  = 5 - 2\cos x\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right. = 7\)

Phân tích phương án nhiễu:

Học sinh thường nhầm đáp án C. \( = 5 - 2\sin x\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right. = 3I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x{\rm{d}}x} \)

Cách 1: \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\sqrt {2x - 1} {\rm{d}}x = \int {{{\left( {2x - 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}} } {\rm{d}}x = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.{\left( {2x - 1} \right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{3}\left( {2x - 1} \right)\sqrt {2x - 1}  + C\)

Cách 2: Sử dụng MTCT, ta biết rằng \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = F\left( x \right)}  + C \Rightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)\)

Phân tích phương án nhiễu:

Học sinh thường nhầm đáp án A. do thiếu \(\frac{1}{a}\) trong công thức \(\int {{{\left( {ax - 1} \right)}^n}{\rm{d}}x}  = \frac{1}{a}.\frac{1}{{n + 1}}{\left( {ax - 1} \right)^{n + 1}} + C\).

\(F\left( x \right) = \int {\left( {{{\rm{e}}^x} + 2x} \right){\rm{d}}x}  = {{\rm{e}}^x} + {x^2} + C\)

\(F\left( 0 \right) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow {{\rm{e}}^0} + C = \frac{3}{2} \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}.\) Vậy \(F\left( x \right) = {{\rm{e}}^x} + {x^2} + \frac{1}{2}\).

Phân tích phương án nhiễu:

Học sinh thường nhầm đáp án C. do \({{\rm{e}}^0} = 0\).

\(F\left( x \right) = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right){\rm{d}}x}  =  - \cos x + \sin x + C\); Do \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2 \Rightarrow C = 1\).

Phân tích phương án nhiễu:

Học sinh thường nhầm đáp án A do

\(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) =  - \cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 2 \Rightarrow  - 1 + 0 + C = 2 \Rightarrow C = 3\).

Học sinh thường nhầm đáp án B, C do nhầm công thức nguyên hàm \(\sin x\) và \(\cos x\).

Vì \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\) nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có \({\left( {\frac{1}{{2{x^2}}}} \right)^\prime } = \frac{{f\left( x \right)}}{x} \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{2}{{{x^3}}}\).

Xét \(f'\left( x \right)\ln x = \frac{2}{{{x^3}}}\ln x\); \(I = \int {\frac{2}{{{x^3}}}\ln x} {\rm{d}}x\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
{\rm{d}}v = \frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^3}}}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{d}}u = \frac{1}{x}{\rm{d}}x\\
v = \frac{{ - 1}}{{2{x^2}}}
\end{array} \right.;\,\,I = uv - \int {v{\rm{d}}u = 2.\frac{{ - \ln x}}{{2{x^2}}}}  + 2.\int {\frac{1}{{2{x^3}}}{\rm{d}}x}  =  - \left( {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}}} \right) + C\).

Phân tích phương án nhiễu:

Học sinh thường nhầm đáp án D do nhầm dấu khi tính nguyên hàm.

Cách 1: \(I = \int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x} dx\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = lnx\\
{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{d}}u = \frac{1}{x}{\rm{d}}x\\
v = \frac{{{x^2}}}{2}
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right|_1^{\rm{e}} - \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{x} \cdot \frac{{{x^2}}}{2}{\rm{d}}x}  = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{2} - \frac{1}{2}\int\limits_1^{\rm{e}} {x{\rm{d}}x = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{2} - \left. {\frac{{{x^2}}}{4}} \right|_1^{\rm{e}}}  = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{2} - \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{{{{\rm{e}}^2} + 1}}{4}\)

Cách 2: Máy tính

Quy trình bấm máy:

Máy hiện:

Kiểm tra các kết quả ta có C thỏa mãn (lần lượt trừ từng đáp án).

Phân tích phương án nhiễu:

Học sinh thường nhầm đáp án D do nhầm dấu khi thay cận:

\( \Rightarrow I = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right|_1^{\rm{e}} - \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{x} \cdot \frac{{{x^2}}}{2}{\rm{d}}x}  = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{2} - \frac{1}{2}\int\limits_1^{\rm{e}} {x{\rm{d}}x = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{2} - \left. {\frac{{{x^2}}}{4}} \right|_1^{\rm{e}}}  = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{2} - \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{{{{\rm{e}}^2} + 1}}{4}\)

Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - x = x - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1\\
x =  - 2
\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - {x^2}\) là:

\(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - x - \left( {x - {x^2}} \right)} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right){\rm{d}}x}  - \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right){\rm{d}}x} \) 

\( = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_{ - 2}^0 - \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_0^1 =  - \left( {\frac{{16}}{4} - \frac{8}{3} - 4} \right) - \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1} \right) = \frac{{37}}{{12}}\)

Cách 2: Máy tính

Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - x = x - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1\\
x =  - 2
\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - {x^2}\) là:

\(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - x - \left( {x - {x^2}} \right)} \right|} {\rm{d}}x\)

Quy trình bấm:

Máy hiện:  đối chiếu với phương án Chọn A.

Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm \(2\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox là:

\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left[ {2\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x}} \right]}^2}} {\rm{d}}x = 4\pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x - 1} \right)}^2}{{\rm{e}}^{2x}}} {\rm{d}}x\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = {\left( {x - 1} \right)^2}\\
{\rm{d}}v = {{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{d}}u = 2\left( {x - 1} \right)\\
v = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow V = \left. {4\pi {{\left( {x - 1} \right)}^2}\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - 4\pi \int\limits_0^1 {2\left( {x - 1} \right)\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}{\rm{d}}x}  = 4\pi \left. {{{\left( {x - 1} \right)}^2}\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - 4\pi \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^{2x}}} {\rm{d}}x\) 

Gọi \({V_1} = \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^{2x}}} {\rm{d}}x\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x - 1 \Rightarrow {\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\
{\rm{d}}v = {{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x \Rightarrow v = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {V_1} = \left. {4\pi \left( {x - 1} \right)\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - 4\pi \int\limits_0^1 {\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}{\rm{d}}x}  = 2\pi  - \left. {\pi {{\rm{e}}^{2x}}} \right|_0^1 = 2\pi  - \pi {{\rm{e}}^2} + \pi  = 3\pi  - \pi {{\rm{e}}^2}\) 

\(V = \left. {4\pi {{\left( {x - 1} \right)}^2}\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - {V_1} =  - 2\pi  - \left( {3\pi  - \pi {{\rm{e}}^2}} \right) = \pi \left( {{{\rm{e}}^2} - 5} \right)\,\,\)

Cách 2: Sử dụng MTCT

Phương trình hoành độ giao điểm \(2\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox là:

\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left[ {2\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x}} \right]}^2}} {\rm{d}}x = 4\pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x - 1} \right)}^2}{{\rm{e}}^{2x}}} {\rm{d}}x\)

Máy hiện:

Kiểm tra các kết quả ta được đáp án D.